大問題

19世紀

1. 1859
   リーマン予想算術と数論, 解析学. ゼータ関数は素数の分布を符号化しており、その零点は素数計数関数 $\pi(x)$ の誤差項を支配する。リーマンは1859年、自分が計算できた非自明な零点がすべて臨界線 $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$ 上にあることに気づき、これが常に成り立つと予想した。証明されれば素数定理の最も強い形が得られる。数十億個の零点が数値的に検証され、すべてこの直線上にあるが、証明も反証も知られていない。クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題7題のうちの1つである。ミレニアム賞ヒルベルト #8未解決

20世紀

1. 1904
   ポアンカレ予想位相幾何学(トポロジー), 幾何学. 単連結な閉 $3$ 次元多様体はすべて $3$ 次元球面 $S^3$ に同相である — 1904年にアンリ・ポアンカレが提起し、2002〜2003年にグリゴリー・ペレルマンが手術付きリッチフローによって証明した、クレイ・ミレニアム懸賞問題で唯一解決された問題。ミレニアム賞グリグリゴリー・ペレルマン, 2003
2. 1950
   ホッジ予想幾何学, 代数学. ホッジ類とは、多様体の複素構造が「図形的」であると選び出すコホモロジー類のことである。予想は、そのようなホッジ類がすべて実際に真の代数的部分多様体から生じるかを問う。1924年のレフシェッツによって余次元1で正しいことが分かっており、次元5までのアーベル多様体でも成り立つが、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題7題の1つであり、一般には未解決のままである。ミレニアム賞未解決
3. 1965
   バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想算術と数論. 楕円曲線の有理点の階数が、そのL関数のs=1における消滅位数に等しいと予想する — その位数が0または1の場合にのみ証明されている。ミレニアム賞未解決
4. 1971
   P対NP問題応用数学と計算数学, 数学の基礎. 解を素早く確認できる問題はすべて素早く解けるのかを問う — 計算複雑性理論における中心的な未解決問題であり、クレイ・ミレニアム賞の対象でもある。ミレニアム賞未解決

現代

1. 2000
   ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ微分方程式と力学系. 3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式が、滑らかな初期データから常に滑らかで大域的に定義された解を持つのか、それとも有限時間で爆発しうるのかを問う — クレイ・ミレニアム懸賞問題の7つのうちの1つ。ミレニアム賞スメイル #15未解決
2. 2000
   ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題数理物理学, 解析学. 古典的なヤン–ミルズ場は光子と同様に質量を持たないが、量子世界においてそれが記述する強い核力は短距離力であり、グルーオンやクォークを質量のある粒子へと閉じ込める。4次元量子ヤン–ミルズ理論を数学的に厳密に構成し、その質量ギャップ $\Delta > 0$ を証明することは、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題7題の1つである。ミレニアム賞未解決