大問題

18世紀

1. 1742
   ゴールドバッハ予想算術と数論. 1742年、ゴールドバッハはオイラーへの手紙の中で、2より大きいすべての整数は3つの素数の和であると提案した(当時は1も素数とみなされていた)。オイラーはこれを、現在標準となっているより強い形――2より大きいすべての偶数は2つの素数の和である――に言い換えた。$4\times10^{18}$ までのすべての偶数についてコンピュータで確認され、強力な部分的結果もあるにもかかわらず、一般の主張はいまだ証明されていない。これとは別の、より弱い主張――弱いゴールドバッハ予想(三素数予想)、すなわち5より大きいすべての奇数は3つの素数の和である――は、2013年にヘルフゴットによって完全に証明された。ランダウ #1未解決

19世紀

1. 1808
   ルジャンドル予想算術と数論. 隣り合う2つの平方数 $n^2$ と $(n+1)^2$ の間——$x = n^2$ において長さ $2n + 1 \approx 2x^{1/2}$ の区間——に常に素数が存在するかを問う問題。1912年にエドムント・ランダウが素数に関する4つの「攻略不能な」問題の1つに挙げたもので、リーマン予想を仮定してさえ未解決である。ランダウ #3未解決
2. 1849
   双子素数予想算術と数論. $(3,5)$、$(11,13)$、$(17,19)$ のような組は双子素数と呼ばれる。アルフォンス・ド・ポリニャックは1849年に、任意の偶数 $n$ が無限に多くの連続する素数のギャップとなるという主張の $n=2$ の場合として、この予想を一般の形で述べた。この問題は絶望的とみなされていたが、2013年にチャン・イータンが、ある固定された上限以下のギャップが無限回現れることを証明し、予想に向けた最初の驚くべき一歩となった。それ以降、篩理論の改良によって上限は70,000,000から246まで引き下げられたが、これまでのところどの手法もギャップを2にまで絞り込むことはできていない。ランダウ #2未解決

20世紀

1. 1912
   n² + 1 型の素数(ランダウの第4問題)算術と数論. ディリクレの定理は互いに素な任意の一次式 $an + b$ に無限個の素数が現れることを保証するが、2次以上の1変数多項式が無限個の素数値をとることはいまだに1つも証明されていない。1912年にエドムント・ランダウが素数に関する4つの問題の第4番目として掲げた $n^2 + 1$ の場合は未解決であり、無条件で最も近い結果は $n^2 + 1$ が無限にしばしば高々2つの素数の積となるというイヴァニエツの1978年の定理である。ランダウ #4未解決