最初のいくつかの素数でユークリッドの構成を実際に試してみよう。$L = \{2\}$ のとき $N = 2 + 1 = 3$（素数）、$L = \{2, 3\}$ のとき $N = 2 \cdot 3 + 1 = 7$（素数）、$L = \{2, 3, 5\}$ のとき $N = 30 + 1 = 31$（素数）、$L = \{2, 3, 5, 7\}$ のとき $N = 210 + 1 = 211$（素数）、そして $L = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ のとき $N = 2310 + 1 = 2311$（素数）となる。この最初の5つの例を見ると、多くの読者は $N = p_1 \cdots p_n + 1$ が常に素数になると錯覚してしまう。

ところが6番目の素数まで入れた $L = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ では、$N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30030 + 1 = 30031$ となり、これは $30031 = 59 \times 509$ と分解される合成数である（ハーディとライトの古典的教科書『数論入門』§1.2などでも強調されている例である）。ユークリッドの第9巻命題20の証明がこれをいかに鮮やかに処理しているかに注目してほしい。ユークリッドは最初から明示的に「$EF$ は素数であるか、そうでないかのいずれかである」と場合分けしており、$N = 30031$ が合成数であっても、その素因数である $q = 59$ と $q = 509$ はどちらも $\{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ の外にあるため、新しい素数が一つどころか二つも見つかるのである。