Số phức

Nhân hai số ở dạng lượng giác thì nhân các mô đun và cộng các acgumen: $r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\cdot r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) = r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big)$, theo công thức cộng góc của côsin và sin. Nhân $n$ số giống nhau thì cộng acgumen của nó $n$ lần.

Chúng ta chứng minh $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta+i\sin n\theta$ bằng quy nạp toán học trên $n \ge 0$; trường hợp mô đun tổng quát $r = 1$ và $n = -m$ âm suy ra ngay.

**Cơ sở ($n = 0$).** $(\cos\theta+i\sin\theta)^0 = 1 = \cos 0 + i\sin 0$. ✓

Bước quy nạp. Giả sử $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$. Nhân hai vế với $(\cos\theta+i\sin\theta)$: $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1} = (\cos n\theta + i\sin n\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$. Khai triển và dùng công thức cộng góc $\cos(A+B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$ và $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$, phần thực bằng $\cos n\theta\cos\theta - \sin n\theta\sin\theta = \cos(n+1)\theta$ và phần ảo bằng $\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta = \sin(n+1)\theta$. Vậy công thức đúng với $n+1$, hoàn tất quy nạp.

Mở rộng sang mô đun tổng quát và số mũ âm. Với mô đun $r = 1$: $(r(\cos\theta+i\sin\theta))^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$. Với $n = -m$ và $m > 0$: vì $|\cos m\theta + i\sin m\theta| = 1$, số nghịch đảo là $\overline{\cos m\theta + i\sin m\theta} = \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta)$, suy ra $(\cos\theta+i\sin\theta)^{-m} = \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta)$.

Chuỗi Taylor của $e^x$, $\cos x$ và $\sin x$ vẫn có nghĩa khi thay $x$ bằng $i\theta$: $e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(i\theta)^n}{n!}$. Tách tổng theo $n$ chẵn và lẻ, rồi rút gọn từng lũy thừa của $i$ bằng $i^2=-1$, ta được đúng $\cos\theta = \sum \dfrac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!}$ cho phần thực và $\sin\theta = \sum \dfrac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$ cho phần ảo. Làm cho lập luận này thực sự chặt chẽ — thao tác với một chuỗi vô hạn các số hạng phức như một tổng hữu hạn — thuộc về lý thuyết hàm biến phức.

Bước 1 — Nhắc lại chuỗi Taylor. Với mọi số thực $x$: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$, $\cos x = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$, $\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$. Cả ba chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi đối số thực (và phức).

**Bước 2 — Thay $x = i\theta$ vào chuỗi hàm mũ.** Hội tụ tuyệt đối đảm bảo thay từng số hạng: $e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(i\theta)^n}{n!} = 1 + i\theta + \dfrac{(i\theta)^2}{2!} + \dfrac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots$.

**Bước 3 — Rút gọn bằng $i^2 = -1$ và tách phần thực, phần ảo.** Các lũy thừa của $i$ lặp với chu kỳ 4: $i^0=1,\,i^1=i,\,i^2=-1,\,i^3=-i,\,i^4=1,\ldots$ Tách các số hạng chỉ số chẵn (thực) và lẻ (ảo): $e^{i\theta} = \left(1 - \dfrac{\theta^2}{2!} + \dfrac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^5}{5!} - \cdots\right) = \cos\theta + i\sin\theta$. Làm cho lập luận này thực sự chặt chẽ đòi hỏi hội tụ tuyệt đối của chuỗi hàm mũ phức, điều này đúng vì $\sum |a_n|$ hội tụ.

Trên $\mathbb{R}$, một đa thức như $x^2+1$ có thể không có nghiệm vì đồ thị của nó không bao giờ cắt trục $x$. Số phức loại bỏ trở ngại này: $\mathbb{C}$ luôn chứa một nghiệm cho mọi đa thức không hằng, không còn trường hợp ngoại lệ. Khi đã tìm được một nghiệm $z_1$, chia $p(z)$ cho $(z-z_1)$ ta được một đa thức bậc $n-1$, và có thể áp dụng lại chính sự kiện này.

Không có chứng minh thuần túy đại số: mọi chứng minh đã biết đều mượn một công cụ từ giải tích hoặc tô pô. Chứng minh ngắn nhất dùng định lý Liouville trong lý thuyết hàm biến phức — xem "Hàm biến phức" để biết lập luận đầy đủ.