MathLabs
Định lýĐã chứng minh

Định lý Stokes

Phát biểu

Trong giải tích vectơ cổ điển, cho S⊂R3S \subset \mathbb{R}^3 là một mặt trơn từng mảnh định hướng với đường biên định hướng dương ∂S\partial S và pháp tuyến đơn vị n\mathbf{n}, và cho F\mathbf{F} là trường vectơ khả vi liên tục trên một lân cận của SS. Khi đó ∬S(∇×F)⋅n dS=∮∂SF⋅dr\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\,dS = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. Trong phát biểu tổng quát cho dạng vi phân, với mọi đa tạp trơn định hướng có biên MM số chiều nn và mọi (n−1)(n-1)-dạng vi phân trơn giá compact ω\omega trên MM, ta có ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.

Vì sao đúng?

Hãy hình dung lát kín mặt SS bằng một lưới mịn gồm những vòng lặp nhỏ có định hướng, tất cả cùng quay theo chiều ngược kim đồng hồ. Toán tử xoáy (∇×F)⋅n(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} tại mỗi điểm đo lưu số vi mô của F\mathbf{F} quanh một ô lát nhỏ. Khi cộng lưu số của tất cả các ô lại với nhau, mọi cạnh nằm bên trong đều được dùng chung bởi hai ô kề nhau đi qua nó theo hai chiều ngược nhau, nên toàn bộ các đóng góp nội bộ tự triệt tiêu từng đôi một. Chỉ những cạnh ngoài không dùng chung dọc theo biên ∂S\partial S là còn sót lại, tạo thành lưu số vĩ mô ∮∂SF⋅dr\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. Nhìn dưới dạng ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega, định lý nói rằng việc tích phân đạo hàm ngoài của một dạng đối ngẫu với việc lấy biên của miền lấy tích phân.

Phác thảo chứng minh

Sử dụng một phân hoạch đơn vị trơn phụ thuộc vào một tập bản đồ định hướng của MM, ta phân rã ω=∑kρkω\omega = \sum_k \rho_k \omega để quy về việc chứng minh ∫Mdω=∫∂Mω\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega khi ω\omega có giá compact nằm trọn trong một bản đồ tọa độ duy nhất mô hình hóa trên Rn\mathbb{R}^n hoặc nửa không gian trên Hn={x∈Rn:xn≥0}\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : x_n \ge 0\}. Viết ω=∑i=1nfi(x) dx1∧⋯∧dxi^∧⋯∧dxn\omega = \sum_{i=1}^{n} f_i(x)\,dx_1 \wedge \dots \wedge \widehat{dx_i} \wedge \dots \wedge dx_n, đạo hàm ngoài của nó là dω=(∑i=1n(−1)i−1∂fi∂xi)dx1∧⋯∧dxnd\omega = \left(\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\right) dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n. Áp dụng định lý Fubini và định lý cơ bản của giải tích một biến theo từng tọa độ xix_i, các số hạng i<ni < n triệt tiêu vì fif_i có giá compact, còn số hạng i=ni = n trên Hn\mathbb{H}^n cho giá trị tại biên xn=0x_n = 0 khớp đúng với ∫∂Hnω\int_{\partial \mathbb{H}^n} \omega theo định hướng cảm sinh.

Chủ đề chứa định lý này

Giải tích vectơĐa tạp trơnHình học vi phân

Định lý liên quan

Định lý Gauss–Ostrogradsky (định lý phân kỳ)Định lý cơ bản của giải tíchĐịnh lý tích phân CauchyĐịnh lý Gauss–Bonnet

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. Michael Spivak (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus
  2. Victor J. Katz (1979). The History of Stokes' Theorem · DOI:10.1080/0025570X.1979.11976770