Định lý phương tích của điểm

Bước 1: Lập tam giác đồng dạng. Gọi hai đường thẳng qua $P$ cắt đường tròn tại $A,B$ và $C,D$. Vì $A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn, các góc nội tiếp $\angle PAC$ và $\angle PDB$ chắn cùng cung $BC$ (hoặc cung bù, tùy cấu hình), nên $\angle PAC = \angle PDB$.

Bước 2: Khớp cặp góc thứ hai. Góc tại $P$ trong tam giác $PAC$ và góc tại $P$ trong tam giác $PDB$ hoặc bằng nhau (nếu $P$ ở ngoài đường tròn, hai đường chung đỉnh $P$ nên góc đó chính là cùng một góc) hoặc là góc đối đỉnh (nếu $P$ ở trong đường tròn). Dù thế nào $\angle APC = \angle DPB$.

Bước 3: Kết luận đồng dạng. Hai tam giác $PAC$ và $PDB$ có hai cặp góc bằng nhau nên đồng dạng theo trường hợp góc-góc: $\triangle PAC \sim \triangle PDB$.

Bước 4: Rút ra tỉ số. Tam giác đồng dạng cho các cạnh tương ứng tỉ lệ: $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$, biến đổi thành $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ (dùng độ dài không dấu trước, cho $P$ ở ngoài đường tròn).

Bước 5: Tính giá trị chung qua đường kính. Chọn đường thẳng cụ thể qua $P$ và tâm $O$, cắt đường tròn tại hai điểm trên đường kính, ở khoảng cách có dấu $OP - r$ và $OP + r$ từ $P$ (lấy $P$ ở ngoài nên $OP > r$). Tích của chúng là $(OP-r)(OP+r) = OP^2 - r^2$, mà theo Bước 4 phải bằng $PA \cdot PB$ với mọi đường qua $P$.

**Bước 6: Xử lý $P$ ở trong đường tròn bằng độ dài có dấu.** Khi $P$ nằm trong đường tròn, $A,P,B$ theo thứ tự đó trên dây cung, nên $\overrightarrow{PA}$ và $\overrightarrow{PB}$ ngược hướng và tích có dấu $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} = -PA\cdot PB$ âm; lặp lại Bước 1–5 với đường kính qua $P$ cho $-PA\cdot PB = OP^2-r^2$ (nay âm vì $OP<r$), nên đẳng thức $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=OP^2-r^2$ đúng đồng nhất kể cả dấu, hoàn tất chứng minh.