Hàm biến phức

Viết $f=u+iv$ và $dz=dx+i\,dy$, tích phân đường tách thành hai tích phân đường thực, mỗi tích phân đó có thể viết lại thành một tích phân kép trên miền được bao bởi $\gamma$ nhờ định lý Green. Hai tích phân kép xuất hiện chính là $\iint (v_x - u_y)\,dA$ và $\iint(u_x - v_y)\,dA$ sai khác dấu và một thừa số $i$, và cả hai đều bằng không nhờ phương trình Cauchy–Riemann $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$.

Viết $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ và $dz = dx + i\,dy$ dọc theo chu tuyến kín $\gamma = \partial D$ bao quanh miền $D \subseteq U$. Khai triển tích số giúp tách tích phân đường phức thành phần thực và phần ảo: $\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u\,dx - v\,dy) + i \oint_\gamma (v\,dx + u\,dy)$.

Vì $u$ và $v$ có các đạo hàm riêng liên tục trên $U$, áp dụng định lý Green $\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D (Q_x - P_y)\,dx\,dy$ cho phần thực và phần ảo riêng biệt ta thu được $\oint_\gamma f(z)\,dz = \iint_D (-v_x - u_y)\,dx\,dy + i \iint_D (u_x - v_y)\,dx\,dy$.

Do $f$ chỉnh hình nên hệ phương trình Cauchy–Riemann $u_x = v_y$ và $u_y = -v_x$ thỏa mãn tại mọi điểm thuộc $D$. Từ đó $-v_x - u_y = 0$ và $u_x - v_y = 0$ đồng nhất trên toàn miền, suy ra $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0 + i\cdot 0 = 0$.

Áp dụng định lý tích phân Cauchy cho $g(z) = \dfrac{f(z)}{z-a}$ trên miền giữa $\gamma$ và một đường tròn nhỏ bán kính $\varepsilon$ quanh $a$ (nơi $g$ chỉnh hình, vì điểm $z=a$ bị loại trừ): hai tích phân đường của $g$ phải bằng nhau. Khi $\varepsilon \to 0$, tích phân trên đường tròn nhỏ tiến tới $f(a)\cdot 2\pi i$, vì $f$ liên tục và gần như không đổi, bằng $f(a)$, trên một đường tròn co lại quanh $a$. Chỉ một công thức này cho thấy giá trị của một hàm chỉnh hình bên trong một miền hoàn toàn được quyết định bởi giá trị của nó trên biên.

Cố định điểm $a$ nằm hẳn bên trong $\gamma$, và chọn $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ để đường tròn $C_\varepsilon = \{z : |z - a| = \varepsilon\}$ nằm hoàn toàn trong chu tuyến. Vì $g(z) = \dfrac{f(z)}{z - a}$ chỉnh hình trên miền kẹp giữa chu tuyến ngoài và đường tròn nhỏ, định lý tích phân Cauchy cho ta $\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz = \oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz$.

Tham số hóa đường tròn nhỏ bởi $z = a + \varepsilon e^{i\theta}$ với $\theta \in [0, 2\pi]$, khi đó $dz = i\varepsilon e^{i\theta}\,d\theta$ và $\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{1}{z - a}\,dz = \int_0^{2\pi} i\,d\theta = 2\pi i$. Tách tử số dưới dạng $f(z) = f(a) + (f(z) - f(a))$ ta được $\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz = 2\pi i\,f(a) + \oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z) - f(a)}{z - a}\,dz$.

Đánh giá tích phân dư theo độ dài cung cho $\left|\oint_{C_\varepsilon} \dfrac{f(z) - f(a)}{z - a}\,dz\right| \le \dfrac{\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)|}{\varepsilon}\cdot 2\pi\varepsilon = 2\pi \max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)|$. Do tính liên tục tại tâm nên khi $\varepsilon \to 0$ ta có $\max_{C_\varepsilon}|f(z) - f(a)| \to 0$, suy ra phần dư tiến về không và thu được $f(a) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \dfrac{f(z)}{z - a}\,dz$.

Công thức tích phân Cauchy cho một ước lượng cho các đạo hàm của một hàm chỉnh hình theo độ lớn của nó trên một đường tròn lớn: $|f'(z_0)| \le \dfrac{M}{R}$, trong đó $M$ chặn $|f|$ trên một đường tròn bán kính $R$ quanh $z_0$. Nếu $f$ là hàm nguyên và bị chặn bởi $M$ ở khắp nơi, ước lượng này đúng với mọi $R$, dù lớn đến đâu; cho $R \to \infty$ buộc $f'(z_0)=0$ tại mọi điểm $z_0$, nên $f$ là hàm hằng.

Giả sử $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ là hàm nguyên và bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số $M \ge 0$ sao cho $|f(z)| \le M$ với mọi $z \in \mathbb{C}$. Cố định một điểm bất kỳ $z_0 \in \mathbb{C}$ cùng bán kính $R > 0$, và xét đường tròn $C_R = \{z : |z - z_0| = R\}$.

Theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm cấp một, $f'(z_0) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_R} \dfrac{f(z)}{(z - z_0)^2}\,dz$. Vì đường tròn có độ dài cung $2\pi R$ và thỏa mãn $|z - z_0|^2 = R^2$ trên chu tuyến, ước lượng tích phân chuẩn cho ta $|f'(z_0)| \le \dfrac{1}{2\pi}\cdot \dfrac{M}{R^2}\cdot 2\pi R = \dfrac{M}{R}$.

Do hàm số là hàm nguyên nên bất đẳng thức này đúng với mọi bán kính; cho $R \to \infty$ buộc $f'(z_0) = 0$ tại mọi điểm, suy ra hàm số là hàm hằng.

Biến dạng $\gamma$ thành $k$ đường tròn nhỏ, mỗi đường quanh một điểm kỳ dị $z_j$, nối với nhau bằng các hành lang mỏng triệt tiêu theo cặp; áp dụng định lý tích phân Cauchy cho miền (chỉnh hình) giữa $\gamma$ và các đường tròn này, tích phân trên $\gamma$ bằng tổng các tích phân trên các đường tròn nhỏ. Mỗi tích phân trên đường tròn nhỏ lấy ra đúng $2\pi i$ lần hệ số $c_{-1}$ của chuỗi Laurent tại $z_j$ — chính là thặng dư — vì $\oint (z-z_j)^n\,dz = 0$ với mọi lũy thừa trừ $n=-1$, khi đó nó bằng $2\pi i$.

Bao quanh các điểm kỳ dị cô lập bằng các đường tròn nhỏ rời nhau định hướng dương $C_1, \dots, C_k$ có tâm tại $z_1, \dots, z_k$ với bán kính $\varepsilon_j > 0$ nằm trong $\gamma$. Vì hàm số chỉnh hình trên miền đa liên giữa chu tuyến ngoài và các đường tròn nhỏ, định lý tích phân Cauchy cho ta $\oint_\gamma f(z)\,dz = \sum_{j=1}^k \oint_{C_j} f(z)\,dz$.

Trên lân cận thủng của $z_j$, khai triển hàm số thành chuỗi Laurent $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{j,n}(z - z_j)^n$ hội tụ đều trên $C_j$. Lấy tích phân từng số hạng quanh đường tròn nhỏ ta được $\oint_{C_j} f(z)\,dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{j,n} \oint_{C_j} (z - z_j)^n\,dz$.

Dùng tham số hóa $z = z_j + \varepsilon_j e^{i\theta}$, tính trực tiếp cho thấy $\oint_{C_j} (z - z_j)^n\,dz = 0$ với mọi số nguyên $n \ne -1$ và $\oint_{C_j} (z - z_j)^{-1}\,dz = 2\pi i$. Do đó chỉ số hạng thặng dư còn lại trên mỗi đường tròn, cho $\oint_{C_j} f(z)\,dz = 2\pi i\,c_{j,-1} = 2\pi i \operatorname{Res}_{z=z_j} f(z)$, và cộng theo mọi đường tròn thu được $\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{j=1}^k \operatorname{Res}_{z=z_j} f(z)$.