Định lýĐã chứng minh

Định lý cơ bản của đại số

Phát biểu

Mọi đa thức một biến bậc khác không với hệ số phức đều có ít nhất một nghiệm phức; nói cách khác, một đa thức bậc $n \ge 1$ có đúng $n$ nghiệm phức, tính cả bội.

Vì sao đúng?

Đa thức thực như $x^2+1$ không cắt trục hoành nên trông như vô nghiệm. Nhưng nếu cho phép hệ số và nghiệm sống trong mặt phẳng phức thay vì chỉ trên đường thẳng thực, mọi đa thức — dù phức tạp đến đâu — đều chắc chắn triệt tiêu ở đâu đó. Thêm chiều ảo đã lấp đầy khoảng trống mà số thực để lại.

Phác thảo chứng minh

Một cách chứng minh chuẩn (d'Alembert–Argand / Gauss) dùng định lý Liouville: nếu đa thức $p(z)$ không có nghiệm thì $1/p(z)$ là hàm nguyên bị chặn, nên theo Liouville nó là hằng số, mâu thuẫn với việc $p$ khác hằng số. Một cách sơ cấp hơn chỉ ra $|p(z)|$ đạt cực tiểu toàn cục trên $\mathbb{C}$ (vì $|p(z)|\to\infty$ khi $|z|\to\infty$ ), và cực tiểu đó phải bằng không, nếu không một nhiễu loạn thích hợp sẽ làm $|p|$ nhỏ hơn.

Người chứng minh

chứng minh năm 1799Carl Friedrich Gauss

Chủ đề chứa định lý này

Số phức

Định lý liên quan

Công thức Euler Định lý Abel–Ruffini

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger (1997). The Fundamental Theorem of Algebra