Lời giải: Dòng Ricci có phẫu thuật của Perelman (2002–2003), tóm lược

Hamilton (1982) đề xuất cho một metric Riemann tùy ý $g_{ij}$ trên đa tạp 3 chiều đóng $M^3$ tiến hóa theo phương trình $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$ tiến hóa, trong đó $R_{ij}$ là tenxơ độ cong Ricci. Dưới dòng này, độ cong vô hướng $R$ thỏa mãn phương trình phản ứng-khuếch tán $\partial_t R = \Delta R + 2|\operatorname{Ric}|^2$, nên theo nguyên lý cực đại, giá trị nhỏ nhất của nó không giảm theo thời gian.

Dùng nguyên lý cực đại cho tenxơ, Hamilton chỉ ra dòng này bảo toàn tính dương của tenxơ Ricci ở số chiều 3, và khi $\operatorname{Ric} > 0$ ban đầu, dòng đã chuẩn hóa thể tích tồn tại với mọi thời gian và hội tụ trơn về một metric có độ cong dương hằng, nên $M^3$ là một thương của mặt cầu tròn $S^3$.

Chương trình của Hamilton là mở rộng kết quả hội tụ này cho một metric ban đầu tùy ý trên bất kỳ đa tạp 3 chiều đóng nào, kết hợp với việc phân loại tô pô các kết quả có thể xảy ra, sẽ chứng minh giả thuyết hình học hóa Thurston, và giả thuyết Poincaré như trường hợp đặc biệt đơn liên. Chướng ngại, được xử lý từ bước tiếp theo, là với một metric tổng quát, dòng có thể sinh kỳ dị trong thời gian hữu hạn trước khi đạt tới một giới hạn đẹp như vậy.