Lời giải: Dòng Ricci có phẫu thuật của Perelman (2002–2003), tóm lược

Hamilton (1982) đề xuất phát triển một mêtric Riemann $g_{ij}$ trên một đa tạp đóng theo phương trình $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$. Sau khi kéo ngược theo các vi phôi phụ thuộc thời gian sinh bởi nghiệm của phương trình nhiệt cho ánh xạ điều hòa (mẹo de Turck), hệ trở thành parabol chặt — số hạng chính của nó là toán tử Laplace thô $\Delta g_{ij}$ — điều này cho tồn tại và duy nhất trong thời gian ngắn trên đa tạp đóng. Các đại lượng độ cong tiến hóa theo các phương trình phản ứng–khuếch tán; với độ cong vô hướng, $\partial_t R = \Delta R + 2|\operatorname{Ric}|^2$, nên nguyên lý cực đại khiến $\min_M R$ không giảm dọc theo dòng.

Ở chiều 3, Hamilton áp dụng nguyên lý cực đại tenxơ cho sự tiến hóa của $\mathrm{Rm}$ và chứng minh rằng tính dương của tenxơ Ricci được bảo toàn, hơn nữa phần vết bằng không bị bóp theo $R$: $|\mathring{\operatorname{Ric}}| \le C R^{1-\delta}$ với một $\delta>0$ nào đó. Các vùng có độ cong vô hướng lớn do đó trở nên tiệm cận tròn, và kết hợp với chặn đường kính của Myers, dòng chuẩn hóa thể tích trên đa tạp 3 chiều với $\operatorname{Ric}>0$ tồn tại ở mọi thời điểm và hội tụ trơn tới một mêtric có độ cong mặt cắt dương hằng — do đó $M^3$ là một thương của $S^3$ tròn.

Chương trình của Hamilton là áp dụng cùng dòng đó cho một mêtric bất kỳ trên một đa tạp 3 chiều đóng tùy ý và đọc ra phân rã hình học của Thurston từ hành vi thời gian dài của nó, với giả thuyết Poincaré là trường hợp đặc biệt đơn liên. Trở ngại là với mêtric ban đầu tổng quát, $|\mathrm{Rm}|$ có thể bùng lên trước khi đạt tới giới hạn đẹp nào; vì thế việc hiểu dòng hội tụ tới đâu đòi hỏi, theo thứ tự, phân tích bùng nổ (bước tiếp theo), một cơ chế loại trừ các giới hạn suy biến, và một cách tiếp tục dòng qua các thời điểm kỳ dị.