解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

“一般”(或称一般型)五次方程把 $a_0,\ldots,a_4$ 当作 $\mathbb{Q}$ 上独立的不定元,而非具体数值;等价地,也可以从五个独立的不定元 $x_1,\ldots,x_5$(充当根)出发,令 $a_i$(至多差一个符号)是 $x_i$ 的初等对称函数,于是 $F=\mathbb{Q}(a_0,\ldots,a_4)$ 就位于 $\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_5)$ 之中。由于 $x_1,\ldots,x_5$ 的任何一个排列都固定每个初等对称函数(因而固定 $F$),而拉格朗日的一条经典定理表明这些排列恰好就是固定 $F$ 的全部自同构,所以分裂域 $\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_5)$ 在 $F$ 上的伽罗瓦群就是作用在五个根上的完全对称群 $S_5$——而不是像某些具体数值五次方程那样可能出现的更小的子群。