解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

考虑 $f(x)=x^5-4x+2$。由素数 $p=2$ 处的爱森斯坦判别法(首项系数 $1$ 不被 $2$ 整除,其余系数 $0,0,0,-4,2$ 都被 $2$ 整除,常数项 $2$ 不被 $2^2=4$ 整除),可知 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约,因此其伽罗瓦群 $G$ 在 $5$ 个根上传递地作用,从而阶数被 $5$ 整除;由柯西定理,$G$ 中含有一个 $5$ 阶轮换。微积分可以确定实根的个数:$f'(x)=5x^4-4$ 只在两个实数点处为零,所以由罗尔定理,$f$ 至多有 $3$ 个实根,而计算 $f(-2)<0<f(0)$、$f(0)>0>f(1)$、$f(1)<0<f(2)$(借助介值定理)表明它至少有 $3$ 个;因此 $f$ 恰好有 $3$ 个实根和一对共轭复根。复共轭这时就是一个只交换那一对根的域自同构,即 $G$ 中的一个对换。初等群论中的一条定理指出,$S_p$($p$ 为素数)的子群若同时含有一个 $p$ 阶轮换和一个对换,就必定是整个 $S_p$,因此 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})\cong S_5$——正是第7步中被证明不可解的那个群——由伽罗瓦判据(第5步)可知,$x^5-4x+2=0$ 无法用任何根式公式求解。