解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)
通俗地说
hat 的边界只由两种长度的边构成,而且它们两两成对且互相平行——就像一个人的两条手臂虽然指向不同方向,却是相互对应的一对。如果允许把这两种长度中的一种独立地拉伸或缩短,就会得到一整族以完全相同的组合方式拼接的相关图形;这一族用两条边长 与 记作 ,而 hat 只是其中一个特定成员。
结果表明,这一族中几乎每个成员都和 hat 一样是非周期单块瓷砖。只有三个特殊成员——两条边长恰好构成异常对称图形的那几个——反而会周期性铺砌,而这三个例外恰恰正是证明其余成员非周期性所需要的关键图形。
详细分析
hat 由 镶嵌中的风筝形构成,其边有两种长度,可取为 与 (长度为 的边算作两条连续的长度 的边),这些边成对平行出现。允许两条边长 (不同时为零)独立变化,就得到一整族组合结构完全相同的图形 (Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年,第2节)。hat 正是 ;史密斯独立发现的第二个图形“turtle”(由 个风筝形拼成)则是同一族中的 。
三个特殊成员会周期性铺砌而非非周期性铺砌:“chevron”(由 个等边三角形组成的四三角形块),“comet”(由 个等边三角形组成的八三角形块),以及等边情形 。这个连续统中的其他每一个成员,包括 hat 本身,都是非周期单块瓷砖。
chevron 和 comet 并非无关紧要的旁注:因为在任何 hat 镶嵌中,把其中一种长度的所有边收缩为零就会变成 chevron 镶嵌,收缩另一种长度就会变成 comet 镶嵌,这两个周期性的“近亲”正是下一步非周期性证明所使用的工具。