解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)
把这些拼在一起:一个纯粹几何的论证(把 hat 与两个互不相容的周期性近亲耦合起来)无需计算机就排除了周期性;而第二个独立的、计算机辅助的论证(元瓷砖替换成超级瓷砖的无穷层级)既证明了镶嵌确实存在,又独立地再次确认它必须是非周期的。两个月后,对同一图形族的一次小小修改就彻底堵上了最后的漏洞,完全消除了对镜像的需要。
一个自1960年代起就悬而未决的问题——单一一种瓷砖形状能否独自迫使非周期性成立——在短短一年之内就得到了彻底解答,而同一套工具箱(图形连续统、元瓷砖替换、手性技巧)也立即成为后续一系列关于其他非周期单块瓷砖研究的出发点。
“爱因斯坦问题”——单一一种瓷砖能否成为非周期单块瓷砖,即铺满平面但只能非周期性铺砌——至少可以追溯到王浩1961年关于王氏瓷砖的工作,以及非周期瓷砖集合从伯杰的 块(1966年)不断缩小到彭罗斯著名的 块组(1974年)以及后来发现的其他各种 块组这一历程。Smith, Myers, Kaplan 与 Goodman-Strauss(2023年)通过两条逻辑上独立的路径证明了 hat 是非周期的,从而为普通(允许镜像)镶嵌情形解决了这一问题:一条是经典的几何矛盾(与 chevron、comet 镶嵌耦合,无需计算机),另一条是计算机辅助的分层替换论证(元瓷砖到超级瓷砖),后者同时也构造出了一个真实的镶嵌。
两个月后,在姊妹论文(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2024年,arXiv:2305.17743)中,同一团队构造出了 Spectre 族,解决了更严格的“手性爱因斯坦问题”——一种仅用旋转与平移、原则上完全不允许镜像的单一非周期铺砌形状——其做法是对同一个 连续统中等边成员的边作几何形变。
这些成果合在一起,被广泛认为是自1970年代彭罗斯的工作以来镶嵌理论中最重要的进展之一,也是(与四色定理以及黑尔斯和维亚佐夫斯卡的球体堆积证明一道)近年来重大几何定理证明确实需要计算机在至少一个关键步骤上提供辅助的一个引人注目的例子。