解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)

Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss(2023年)第6节以及姊妹论文(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2024年,arXiv:2305.17743)处理了 hat 留下的一个遗留问题:任何 hat 镶嵌都会混用其镜像副本与非镜像副本(第4节的分类规则明确追踪了镜像情况),因此只有当瓷砖的镜像副本也被允许视为“全等”时,hat 才能非周期性铺砌——这是镶嵌理论中的传统约定,但并非唯一可能的约定。

作者们首先观察到,连续统中的等边成员 $\mathrm{Tile}(1,1)$——在允许镜像时会周期性铺砌——会成为他们所称的弱手性图形:如果仅凭约定禁止镜像,它就只能非周期性铺砌。为了让这个图形仅凭其自身几何形状(而非人为规定的规则)就实现非周期性,他们把直边微扰成由一条光滑曲线构成、朝向一致的边,使得只有非镜像的瓷砖副本才能沿边相接。这一族图形被称为Spectre,既包含多边形版本也包含光滑边版本,仅用平移与旋转(绝不使用镜像)就能铺满 $\mathbb{R}^2$,因为镜像副本根本无法与弯曲的边在物理上吻合。

由于 Spectre 镶嵌背后的组合结构继承自 hat 所用的同一套分层替换与耦合镶嵌机制,Spectre 的镶嵌依然被迫是非周期的;唯一新增的要素是排除镜像的几何技巧。这使得 Spectre 成为首个严格手性的非周期单块瓷砖,以最强的意义为“爱因斯坦问题”画上句号:单一形状,无需镜像,除了自身轮廓之外不需要任何匹配规则。