解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)

把同样类型的强制情形分析再向上应用一层,Smith, Myers, Kaplan 与 Goodman-Strauss(2023年,第5节,定理5.1)证明:在任何由四种元瓷砖构成的镶嵌中,元瓷砖(在对 $P$ 与 $F$ 瓷砖作一次技术性的二等分、使边界记账更清晰之后)会组合成更大的第 $1$ 层超级瓷砖 $H', T', P', F'$,它们在组合意义上等价于原来的元瓷砖 $H, T, P, F$:匹配规则相同,邻接结构相同,只是尺度更大。

由于第 $1$ 层超级瓷砖具有与元瓷砖相同的组合结构,同样的替换可以不断迭代:第 $1$ 层超级瓷砖唯一地组合成第 $2$ 层超级瓷砖,第 $2$ 层组合成第 $3$ 层,如此永无止境地进行下去——这正是罗伯特·伯杰(Robert Berger)1966年原始非周期瓷砖集合构造所开创的风格。关键在于这个层级结构是唯一的:每一块元瓷砖恰好属于一个第 $1$ 层超级瓷砖,后者又恰好属于一个第 $2$ 层超级瓷砖,依此类推。

层级结构的唯一性正是迫使非周期性成立的原因:如果某个镶嵌具有平移对称性,那么当 $k$ 足够大时,某个第 $k$ 层超级瓷砖就会与它自身的平移像重叠,而重叠部分中的任意一块元瓷砖就会同时属于两个不同的无穷层级体系——这与唯一性矛盾。同样的构造若正向使用而非用于反证,还能证明存在任意大尺寸的元瓷砖(从而 hat)簇,而这正是得出“hat 确实能铺满平面”这一结论所需要的——连同上一节关于周期性不可能性的论证一起,完成了 hat 是真正的非周期单块瓷砖的证明。