解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)
第一个证明表明周期性是不可能的,但并未说明镶嵌本身是否存在。为了解决存在性问题——并获得对非周期性的第二个独立视角——作者们考察任意一个确实存在的镶嵌,证明其中每一块 hat 都能被明确无误地归入四个更大的簇之一,分别命名为 、、、,判断依据仅仅是它周围一小片瓷砖的排列方式。
这四种簇形状表现得像一组新的、更粗粒度的构件,拥有从其内部 hat 继承而来的独立边匹配规则——单个 hat 的细节纹理被抽象掉了,留下一个更简单的结构供分析。
Smith, Myers, Kaplan 与 Goodman-Strauss(2023年,第4节)给出了八条有先后顺序的分类规则:从给定的一块 hat 向外扫描,第一条其所需邻域模式出现的规则,就为该 hat 指定八个标签之一(–、、、,或统称的 )。按这些标签对 hat 分组,再配合簇内和簇间的匹配检验(通过穷举所有可能出现的小型局部邻域模式来验证),表明这些标签把每一个 hat 镶嵌都划分成四类簇,称为元瓷砖:(由 块 hat 构成)、( 块)、( 块)、( 块),每一类都从构成它的 hat 的几何形状继承了自己的匹配规则(带方向符号、标记为 的边)。
关键在于,只要遵守匹配规则,这种分类就是被迫成立的:在任何可能的 hat 镶嵌中,每一块 hat 都恰好落入某一种元瓷砖,没有歧义,也没有剩余的瓷砖。这就把 hat 镶嵌那种无穷、看似杂乱无章的多样性,转化成一个关于仅仅四种元瓷砖形状如何拼合的、可以处理的问题——这恰恰是与四色定理中放电法所实现的(从无限到有限)同一类型的归约,尽管这里背后的组合结构不同。
下一步将证明这四种元瓷砖满足它们自己的替换规则,这最终确立了镶嵌确实存在,并通过一种独立的、贝尔热(Berger)风格的论证解决了分层非周期性问题。