解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)

“帽子”是一个 polykite：其边界是 Laves $[3.4.6.4]$ 铺砌中筝形块（阿基米德 $(3.4.6.4)$ 铺砌——每个顶点被一个三角形、两个正方形和一个六边形环绕——的对偶）边的并。八个这样的筝形拼成 $13$ 边、沿 $60^\circ$ 格对齐的形状 $T_{\text{hat}} = K_1 \cup \cdots \cup K_8$；其所有边方向都落在三角格的 $12$ 个方向之内，这使它的铺砌可以做组合而非度量的分析。

这一发现先是经验的、而后才是严格的：David Smith 用 Myers 的 polyform 铺砌软件与 Kaplan 的 Heesch 数程序生成大拼块。不能铺满平面的砖有有限的 Heesch 数（它能支撑的同心冠层数）；帽子的拼块已突破此前 $6$ 层的纪录，而要迫使周期铺砌则需至少 $64$ 的 isohedral 数——任一观察单独都预示着一块非凡的砖。

关于帽子所证的一切都相对于所用铺砌约定：砖可旋转、平移和镜像。下述证明分为两部分：证明不存在周期铺砌的几何论证（第三步），与证明铺砌存在且被迫进入唯一非重复结构的层次替换论证（第四至六步）；两半在逻辑上相互独立。