解法：史密斯–迈尔斯–卡普兰–古德曼-施特劳斯的非周期单块瓷砖:hat 与 Spectre(2023年)

为导出矛盾,假设存在一个由 hat 构成的强意义下周期性镶嵌 $\mathcal{T}$。把所有长度为 $1$ 的边收缩为长度 $0$,会把 $\mathcal{T}$ 变成由 chevron($\mathrm{Tile}(0,\sqrt{3})$,面积 $3\sqrt{3}$)构成的强周期镶嵌 $\mathcal{T}_4$;若改为把所有长度为 $\sqrt{3}$ 的边收缩为 $0$,则得到由 comet($\mathrm{Tile}(1,0)$,面积 $2\sqrt{3}$)构成的强周期镶嵌 $\mathcal{T}_8$(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年,第3节)。由于 $\mathcal{T}_4$ 与 $\mathcal{T}_8$ 都是从同一个镶嵌 $\mathcal{T}$ 组合导出的,存在一个仿射映射 $g$,把 $\mathcal{T}_4$ 的每个平移对称都送到 $\mathcal{T}_8$ 中对应的平移对称,并按固定比例 $\tfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \tfrac{2}{3}$ 缩放面积。

论证的技术核心在于,通过追踪 $g$ 在“虫子”(worm,把 chevron 镶嵌进一步细分得到的无穷菱形链)上的作用,证明组合结构迫使 $g$ 必须在每个方向上均匀缩放,从而 $g$ 事实上必须是一个相似变换(保持形状的缩放)。但按 $\tfrac{2}{3}$ 缩放面积的相似变换必须按 $\sqrt{2/3}$ 缩放长度,而具有这一特定缩放系数的相似变换不可能把三角格点的一组平移对称映到另一组,因为 $\sqrt{2/3}$ 是一个与该格点自身几何结构不相容的无理数(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年,第3节,借助一个关于平面格点的引理)。

这一矛盾表明不可能存在由 hat 构成的强周期镶嵌 $\mathcal{T}$,而由于具有弱周期镶嵌的平面瓷砖总也具有强周期镶嵌,hat 因此不存在任何一种周期镶嵌。值得注意的是,证明的这一半根本不需要计算机——这是一个经典的几何论证。它没有说明的是 hat 究竟能否铺满平面这件事本身;这个存在性问题将在接下来的步骤中独立解答。