解法：吴宝珠利用Hitchin纤维化与几何支撑定理给出的证明(2008年)

第 1/9 步：将基本引理表述为轨道积分恒等式

通俗地说

考虑一个对称群 $G$ 和由 $G$ 的部分数据构造出的较小的伴随群 $H$ 。对 $G$ 中一个典型元素 $\gamma$ ,可以按精确的积分意义计数 $G$ 如何搬动 $\gamma$ ;基本引理预言,这个计数在乘以一个类似符号的因子 $\kappa$ 加权之后,恰好与在较小的群 $H$ 内部所做的类似计数完全相等。

这有点像预言以某种方式洗一整副牌得到的统计结果,总与洗一副相关的更小的牌得到的结果一致——一旦证明,这个巧合就能让数学家用 $H$ 中更容易的计算取代 $G$ 中困难的计算。

O_\gamma^\kappa(\mathbf{1}_{K}) \ = \ \Delta(\gamma,\gamma^H)\,SO_{\gamma^H}(\mathbf{1}_{K^H})

详细分析

对局部域上约化群 $G$ (或其李代数)中的正则半单元 $\gamma$ ,轨道积分 $O_\gamma(\mathbf{1}_K)$ 度量的是相对于一个紧开子群 $K$ 、 $\gamma$ 的共轭类的体积。由于 $\gamma$ 可能在一个更大的稳定共轭类内部分裂成若干个普通共轭类,这些类由一个有限阿贝尔群 $A$ 编号,而 $A$ 的一个特征 $\kappa$ 挑出一个 $\kappa$ 加权轨道积分 $O_\gamma^\kappa(\mathbf{1}_K)$ 。由罗伯特·朗兰兹与戴安娜·谢尔斯塔德于1983年提出猜想的基本引理(FL,Hales 2011, §1.3–1.4)断言: $O_\gamma^\kappa(\mathbf{1}_K)$ 等于相伴内窥群 $H$ 上的一个稳定轨道积分 $SO_{\gamma^H}(\mathbf{1}_{K^H})$ ,至多相差显式的转移因子。

这正是比较 $G$ 的阿瑟–塞尔伯格迹公式几何侧与 $H$ 的相应部分所需的局部构件,也正是朗兰兹的函子性纲领借以稳定迹公式并分类自守表示的方式。由于这一恒等式必须在每个位处、对每个约化群都成立,而轨道积分本身是相当棘手的 $p$ 进积分,基本引理近三十年来一直未能被一般性证明,只有秩为一及少数小秩情形靠手算得到验证(Hales 2011,引言)。

下一步记录了第一个真正的化简:让-卢·瓦尔德斯普格(Jean-Loup Waldspurger)证明了关于群的命题可以从关于李代数的类似命题推出,而吴宝珠真正展开几何攻坚的正是这个李代数的场景。

本步骤中的术语

轨道积分: 对群 $G$ 中的元素 $\gamma$ ,即检验函数 $f$ 在 $\gamma$ 的所有共轭元上的积分 $\int f(g^{-1}\gamma g)\,dg$ ;它度量 $f$ 如何“看到”共轭作用下 $\gamma$ 的轨道。
内窥群 $H$: 由 $\gamma$ 与 $\kappa$ 决定的 $G$ 的根系数据的一个子集所构造出的、维数比 $G$ 小的约化群,用来打包稳定类内部“缺失”的共轭类。

本步骤用到的知识

表示论