解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

在1900年的演讲《数学问题》中,希尔伯特提出第七问题:当 $\alpha$ 是代数数且 $\alpha\ne0,1$,$\beta$ 是代数数但为无理数时,$\alpha^\beta$ 是否总是超越数。这里 $\alpha^\beta$ 是指在某个对数选择下 $e^{\beta\log\alpha}$ 的任意固定值。希尔伯特举出 $2^{\sqrt{2}}$ 与 $e^\pi=(-1)^{-i}$ 作为具体的检验例子。

这个问题正处于代数(哪些数满足多项式方程)与分析(指数函数的性质)的交汇处,三十多年间抵御了一切尝试。盖尔丰德于1929年证明了特殊情形 $e^\pi$ 的超越性,随后1934年盖尔丰德与施奈德两人——各自独立、使用略有不同的辅助函数——证明了完整的命题,如今称为盖尔丰德–施奈德定理。

这一证明策略,此后成为超越数论的标准做法,是反证法:假设 $\gamma=\alpha^\beta$ 是代数数,用 $\alpha,\beta,\gamma$ 构造一个在许多点上被迫变得极小的辅助函数,再证明这与“非零代数数不可能任意小”这一一般事实相矛盾。接下来的步骤将沿着 Yum-Tong Siu(哈佛大学 Math 113 讲义)与 Serge Lang 经典教科书所呈现的方式,走完这条路。