解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

在1900年的演讲 Mathematische Probleme 中,希尔伯特把如下问题列为二十三问题之七:当 $\alpha$ 为满足 $\alpha\notin\{0,1\}$ 的代数数、$\beta$ 为代数无理数时,$\alpha^\beta$ 是否必为超越数;这里 $\alpha^\beta$ 指对数的某个取定分支下 $e^{\beta\log\alpha}$ 的确定值,因为不同分支相差 $e^{2\pi i\beta}$ 的幂,而定理本身表明这些是超越数。希尔伯特举 $2^{\sqrt{2}}$ 与 $e^\pi=(-1)^{-i}$ 为试例,并预言此问题将比黎曼猜想存续更久。

部分进展很快到来:Kuzmin(1930)用连分数方法精细化 Gelfond 1929年的方法——该方法已证明 $e^\pi$ 超越——处理了实二次的 $\beta$。一般情形在1934年由 Gelfond 与 Schneider 各自独立解决;Schneider 的变体后来经 Siegel 改写成本文所用的形式,即使用两个整函数而非 Gelfond 原来用行列式构造的单个函数。文件元数据所列来源为 Gelfond 1934年的论文 Sur le septième problème de Hilbert。

论证是定量化的反证法,如今是整个超越数论的范式。假设 $\gamma=\alpha^\beta$ 为代数数,作数域 $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)$。构造由 $e^z$ 与 $e^{\beta z}$ 组成的非零整函数 $\Phi$,使其在取值于 $K$ 的点 $j\log\alpha$ 处零化到高阶 $L$。于是第一个非零导数 $\Phi^{(s)}(0)$ 是 $K$ 中的非零元:复分析(延森公式)给出上界 $e^{-cL\log L}$,代数数论(共役上的乘积公式)给出下界 $e^{-CL}$;因 $L\log L$ 超过 $CL$,两界相撞,故 $\gamma$ 必为超越数。