解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

延森公式指出,若 $f$ 在半径为 $r$ 的圆盘上全纯,内部有零点 $a_1,\dots,a_n$(且 $f(0)\ne0$),则 $\log|f(0)|=-\sum_j\log(r/|a_j|)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(re^{i\theta})|\,d\theta$;当 $f$ 在 $0$ 处消失到 $s$ 阶时,公式推广为把 $\log|f^{(s)}(0)/s!|$ 与相同的量联系起来(Siu,《延森公式》)。把它应用于 $F(z)=\Phi(z)$,但只限于 $m$ 个点 $z_1,\dots,z_m\ne z_0$(每个点贡献一项 $\log(r/|z_j|)$,利用 $F$ 在那里有阶数 $\ge L$ 的零点),便得到一个不等式,因为这些点并非圆盘内 $\Phi$ 的全部零点(Siu,标记为 $(\ddagger)$ 的不等式)。

估计 $\Phi$ 在圆周 $|z|=r$ 上的增长:由于 $e^z$ 与 $e^{\beta z}$ 的阶为 $1$(即 $|e^z|\le C_\epsilon e^{|z|^{1+\epsilon}}$),且 $G$ 的系数与次数大小为 $\lesssim L$,可得 $\log|\Phi(re^{i\theta})|\lesssim L+Jr^{1+\epsilon}$(Siu,通过附录中导数界 $\|D^\lambda(f^jg^k)\|\le(2J+L)^LC^{2J+L}$ 得到的增长估计)。取 $r=L^{1/2}$ 可使两项平衡,得到 $\log|\Phi(re^{i\theta})|\lesssim L$。

结合延森公式的两端(左端由 $m$ 个已知零点贡献 $\gtrsim mL\log r=\frac{m}{2}L\log L$,右端被 $[K:\mathbb{Q}]L\log L$ 加上 $O(L)$ 所限制,因为代数数 $\Phi^{(s)}(0)$ 的“大小”需要额外一个因子 $[K:\mathbb{Q}]$ 来计入其共轭元素),便得到最终的解析上界:只要 $m$ 相对于 $[K:\mathbb{Q}]$ 选得足够大,就有 $\log|\Phi^{(s)}(0)|\lesssim -c\,L\log L$,其中 $c>0$ 是依赖于 $[K:\mathbb{Q}]$ 的显式常数(Siu,主定理的证明,增长阶数的最终比较)。