解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

第5步确立了 $\log|\Phi^{(s)}(0)|\le-cL\log L+O(L)$(对某个显式常数 $c>0$);第6步确立了 $\log|\Phi^{(s)}(0)|\ge-C_2L$(对某个显式常数 $C_2$)。这两个界同时成立(它们都是对同一个非零数 $\Phi^{(s)}(0)\in K$ 的估计),所以对所有充分大的 $L$,都有 $-C_2L\le\log|\Phi^{(s)}(0)|\le-cL\log L+O(L)$,即 $-C_2L\le-cL\log L+O(L)$。两边除以 $L$ 并令 $L\to\infty$,右边趋于 $-\infty$ 而左边保持有界——对大于某个只依赖于 $c,C_2,[K:\mathbb{Q}]$ 的显式阈值的 $L$,这是彻底的矛盾(Siu,主定理证明的最后一段,以一般命题中的类似界“$m\le C_7\rho[K:\mathbb{Q}]$”结束)。

构造中的每一步——西格尔引理(第3步)、$e^z,e^{\beta z}$ 的代数无关性(第2步)、有限阶整函数的增长估计(第5–6步)、以及代数数的共轭乘积估计(第6步)——都是无条件的经典数学。唯一引入的假设是第2步中假设 $\gamma=\alpha^\beta$ 是代数数。既然这个假设导致矛盾,它必定是错的:对每一个代数数 $\alpha\notin\{0,1\}$ 与每一个代数无理数 $\beta$,$\alpha^\beta$ 都是超越数——这就是盖尔丰德–施奈德定理,解决了希尔伯特第七问题(盖尔丰德,1934年;施奈德,1934年,各自独立)。

作为一个直接推论(Siu,《推论2》),希尔伯特举的例子 $2^{\sqrt{2}}$ 是超越数,因为 $\alpha=2$ 是代数数(不是 $0$ 或 $1$)而 $\beta=\sqrt2$ 是代数无理数。类似地,$\gamma=(-1)^{-i}=e^\pi$ 也是超越数,这恢复了盖尔丰德1929年更早的特殊情形,尽管正式确立 $e^\pi$ 的超越性用的是 $\alpha=-1$(一个单位根)以及 $\beta=i\sqrt{-1}$ 型的推理并稍作假设上的调整,这两者都由一般的盖尔丰德–施奈德机制所处理。