解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

设 $\eta$ 是域 $K$(满足 $[K:\mathbb{Q}]=D$)中的非零代数数,$d$ 是使 $\eta$ 变为代数整数 $d\eta$ 的“分母”(一个正整数),那么在所有嵌入 $\sigma:K\hookrightarrow\mathbb{C}$ 上 $|\sigma(d\eta)|$ 之积是一个非零的普通整数,因而绝对值 $\ge1$;把给出 $\eta$ 本身的那个嵌入单独分离出来,便得到 $|\eta|\ge d^{-1}\prod_{\sigma\ne\mathrm{id}}|\sigma(\eta)|^{-1}$——这正是 $|p/q|\ge1/q$ 的代数类比(Siu,关于“大小”的讨论;这是超越数论中的标准做法,例如 Lang 的《超越数导论》)。

这里 $\eta=\Phi^{(s)}(0)/s!$,是关于 $\alpha,\beta,\gamma\in K$ 与 $G$ 的系数的一个显式多项式表达式,其分母可用第3步中同样的导数大小估计来限定($\|D^\lambda(f^jg^k)\|\le(2J+L)^LC^{2J+L}$,因此分母大小 $\lesssim L$)。要限制每个共轭 $|\sigma(\eta)|$,需要估计把 $\sigma$ 应用到整个构造上的结果——这用到同样的导数增长界,现在对 $K$ 的所有嵌入一致地应用,给出 $|\sigma(\eta)|\lesssim e^{C_1L}$,其中 $C_1$ 是依赖于 $[K:\mathbb{Q}]$ 以及 $\alpha,\beta,\gamma$ 高度的显式常数。

综合起来,$|\eta|=|\Phi^{(s)}(0)|/s!\ge e^{-C_2L}$ 对某个显式的 $C_2$(吸收了分母大小与所有共轭界)成立,于是 $\log|\Phi^{(s)}(0)|\ge-C_2L-\log(s!)\ge-C_3L\log L$ 本身还太弱,但直接(不含 $\log s!$ 项,该项解析一侧已经计入)与第5步的 $\log|\Phi^{(s)}(0)|\lesssim-cL\log L$ 相比较,就会发现:由于 $L\log L$ 的增长严格快于 $L$,当 $L$ 足够大时,代数下界 $-C_2L$ 最终会超过解析上界 $-cL\log L$——这是一个真正的数值矛盾。