解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

常见问题

有没有可能

\Phi

处处恰好消失到

L

阶,以至于我们根本找不到任何非零导数?

不可能——一个非零的整函数只能有有限阶的孤立零点;根据全纯函数的恒等定理,除非恒等于零,否则不可能在某点消失到任意高(或无穷)阶。既然 $\Phi\not\equiv0$ ,在某个选定点处的某阶导数最终必然非零。

来源

Aleksandr Gelfond and Theodor Schneider (independently), 1934

Sur le septième problème de Hilbert

第 4/7 步：

\Phi

不恒等于零:提取出第一个非零导数

上一步下一步

通俗地说

西格尔引理保证多项式 $G$ 不是零多项式,但这并不自动保证由此得到的函数 $\Phi(z)=G(e^z,e^{\beta z})$ 不是零函数——这一步需要用到之前建立的 $e^z$ 与 $e^{\beta z}$ 的代数无关性。正因为它们无关,一个非零多项式 $G$ 绝不可能产生恒等于零的函数 $\Phi$ 。

所以 $\Phi$ 确实存在某个最小的阶 $s\le L$ ,使它在选定的某个点——比如 $z_0=0$ ——处未能消失。这个唯一的非零值 $\Phi^{(s)}(0)$ 正是证明其余部分将从两个方向夹逼的关键数字。

\Phi^{(s)}(z_0) \ne 0 \ \text{for some smallest } s \le L

详细分析

由于 $e^z$ 与 $e^{\beta z}$ 在 $K$ 上代数无关(第2步),且 $G$ 是系数在 $K$ 中的非零多项式(第3步,西格尔引理),复合函数 $\Phi(z)=G(e^z,e^{\beta z})$ 不可能恒等于零——否则 $G$ 本身就会见证 $e^z,e^{\beta z}$ 之间存在非平凡代数关系,与无关性矛盾。

根据构造, $\Phi$ 在每个 $z_0,\dots,z_m$ 处都消失到至少 $L$ 阶(第3步),但它是一个非零整函数,不可能处处消失到无穷阶。若有必要,可以重新给点 $z_0,\dots,z_m$ 编号,使 $\Phi$ 在 $z_0$ 处的消失阶数在这些点中最小,记为 $s\le L$ ;于是 $\Phi^{(s)}(z_0)\ne0$ ,而当 $t<s$ 时 $\Phi^{(t)}(z_0)=0$ (Siu,主定理的证明)。为方便起见平移坐标使 $z_0=0$ ,这个唯一的非零代数数 $\Phi^{(s)}(0)\in K$ 就是整个论证的枢纽:接下来一切都归结为从上下两方面估计 $|\Phi^{(s)}(0)|$ 。

接下来的两步正是给出这样一对界:一个来自复分析的上界(利用 $\Phi$ 在许多点附近很小,通过延森公式),以及一个来自代数数论的下界(利用非零代数整数不可能太小)。