解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

按照 Siu(哈佛大学 Math 113 讲义,《关于超越数的盖尔丰德–施奈德定理》)所给出的论证,用反证法假设 $\alpha$ 是代数数且 $\alpha\ne0,1$,$\beta$ 是代数无理数,而 $\gamma=\alpha^\beta=e^{\beta\log\alpha}$ 是代数数。设 $K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)$,这是一个数域($\mathbb{Q}$ 的有限扩张)。

考虑两个整函数 $f_1(z)=e^z$ 与 $f_2(z)=e^{\beta z}$。如果它们在 $K$ 上满足某个非零多项式恒等式 $q(f_1(z),f_2(z))\equiv0$,把 $q(T_1,T_2)=\sum_{i,j} b_{ij}T_1^iT_2^j$ 代入便得到 $\sum_{i,j}b_{ij}e^{(i+j\beta)z}\equiv0$;由于当 $\beta$ 是无理数时指数 $i+j\beta$ 两两互异(因为 $(i_1-i_2)=(j_2-j_1)\beta$ 除非 $\beta$ 是有理数,否则迫使 $i_1=i_2,j_1=j_2$),这样一族互异指数函数之和要恒等于零,唯一的方式就是所有 $b_{ij}$ 都为零。所以 $f_1,f_2$ 在 $K$ 上代数无关——这本质地用到了 $\beta$ 的无理性。

这就搭建好了此后贯穿全文所用“主定理”的机制:如果两个增长速度受控的整函数满足同一个代数微分方程,并且代数无关,那么它们不能在固定数域 $K$ 中的过多个点同时取值(Siu,主定理,依据 Lang《超越数导论》定理1,第21页)。接下来的步骤正是构造出利用这一点所需要的辅助函数。