解法：盖尔丰德–施奈德利用辅助函数给出的超越性证明(1934年)

西格尔引理陈述:给定 $n>r$ 个未知数上 $r$ 个齐次线性方程,系数为绝对值不超过 $A$ 的整数,那么存在一个绝对值不超过 $2(2nA)^{r/(n-r)}$ 的非平凡整数解(Siu,《西格尔引理》;通过比较线性映射下两个箱子中的格点数目的鸽笼/箱子论证来证明)。一个推广可以处理系数在 $K$ 的代数整数环中的方程,代价是一些只依赖于 $K$ 的常数。

固定一个较大的参数 $L$,取 $J$ 大约为 $\sqrt{L\log L}$,并选取 $m+1$ 个点 $z_0=0,z_1,\dots,z_m\in\{j\log\alpha\}$。利用微分关系 $\frac{d}{dz}e^{iz}e^{j\beta z}=(i+j\beta)e^{iz}e^{j\beta z}$——这正是西格尔引理用来控制导数大小所需要的那种多项式关系——可以构造出一个每个变量次数至多为 $J$、系数在 $K$ 中的多项式 $G(X,Y)$,使得 $\Phi(z)=G(e^z,e^{\beta z})$ 在 $z_0,\dots,z_m$ 每一点处都消失到至少 $L$ 阶(Siu,《主定理的证明》)。西格尔引理保证,只要适当选取 $J,L,m$,使未知数的个数($\approx J^2$)超过消失条件的个数($\approx mL$),就存在这样一个系数大小受控(大小大约 $\lesssim L$)的非零 $G$。

至关重要的是,在点 $z_j=j\log\alpha$ 处求值 $\Phi$ 及其导数,得到的都是落在固定域 $K$ 中的代数数:因为 $e^{z_j}=\alpha^j\in K$ 且 $e^{\beta z_j}=(\alpha^\beta)^j=\gamma^j\in K$(这里用到了假设 $\gamma$ 是代数数!),所以 $\Phi$ 在 $z_j$ 处的每一阶导数都是关于 $\alpha,\beta,\gamma\in K$ 的显式多项式表达式。正是在这里,辅助函数开始“看到”了 $\gamma=\alpha^\beta$ 是代数数这一假设。