解法：马库斯–斯皮尔曼–斯里瓦斯塔瓦利用交错族给出的证明(2013年)

多变量势垒函数论证在逐个向量构造 $A = \sum_{i \le k} v_iv_i^*$ 的每一步都追踪一个势函数 $\Phi^u(A) = \operatorname{tr}(uI-A)^{-1}$(选定阈值 $u$):只要 $u$ 超过 $A$ 的所有特征值,这个量就是有限的,而当 $u$ 从上方逼近最大特征值时,它会无界增长。Batson、Spielman 与 Srivastava 最初(针对单个矩阵)的势垒方法(2012年)表明,只要 $\Phi^u(A)$ 一开始就低于某个固定的界,那么加入一个 $\|v\|^2$ 足够小的秩一项 $vv^*$,只会使势垒移动一个受控的小量。

Marcus、Spielman 与 Srivastava 把这一方法推广到多变量实稳定的场景:由于混合特征多项式可以逐个向量地构造(每加入一个 $v_iv_i^*$ 就对应于再对一个 $z_i$ 求导),同样的势函数记账方式表明,在整个构造过程中,$p(x)$ 的最大根始终保持在 $u^* = (1+\sqrt{2\delta})^2/2$ 之下,其中 $\delta = \max_i \|v_i\|^2$;这正是 Weaver 在 $KS_2$ 中猜想的常数。

这是整个证明中计算最密集的一步:正是在这里,实稳定性与交错族这套抽象机制被转化为一个诚实、可验证的数值不等式,弥合了「根是实数」与「根被证明至多为这个具体数值」之间的鸿沟。