解法：马库斯–斯皮尔曼–斯里瓦斯塔瓦利用交错族给出的证明(2013年)

一个具有实系数的多变量多项式 $p(z_1,\ldots,z_m)$,若只要每个变量 $z_i$ 的虚部都严格为正就有 $p(z_1,\ldots,z_m) \ne 0$,则称为实稳定;当 $m=1$ 时,这恰好归结为只有实数根。实稳定性由 Julius Borcea 与 Petter Brändén(2008–2010年)发展为一套系统理论,推广了统计物理中 Lee 与 Yang 的经典工作,以及 Heilmann 与 Lieb 关于单体–二聚体多项式的研究。

使实稳定性如此强大的关键工程性事实在于:它在一小组运算下保持不变——令变量相等、求导,以及某些线性代换,都会把实稳定多项式变成实稳定多项式(前两种情形变量数减一)。这使人们能够从简单的构件搭建出复杂的实稳定多项式,又能通过特殊化变量从中提取出单变量的实根多项式——这正是精确定义上一步中那族多项式所需的工具。

在下一步中,这套机制被应用到 Weaver 的 $KS_2$ 中出现的具体矩阵 $v_iv_i^*$ 上,产生出「混合特征多项式」——这才是 Marcus–Spielman–Srivastava 证明真正的主角。