解法：马库斯–斯皮尔曼–斯里瓦斯塔瓦利用交错族给出的证明(2013年)
既然 如今已是被证明的定理,剩下的只是沿着 Nik Weaver 与更早的研究者们(Anderson、Akemann、Casazza 及其合作者)在此前数十年间已经搭建好的等价链往回走: 蕴含某种形式的铺垫猜想,而后者蕴含 Kadison–Singer 问题有肯定的答案。
最终结果——于 2013 年解决、2015 年发表于 Annals of Mathematics——是: 的对角算子上的每一个纯态,都能唯一延拓到整个代数上。1959 年提出的一个单一问题,一旦归约为初等线性代数,竟被数学中一个看似毫不相干的角落——源自统计物理的稳定多项式理论——中的思想所解答。
Weaver(2004年)证明了 蕴含 Akemann 与 Anderson(1991年)射影铺垫猜想的某个版本,而后者又已知(经由 Casazza、Fickus、Tremain 与 Weber 2006 年综述《数学与工程中的 Kadison–Singer 问题》所汇总的工作)蕴含 Kadison–Singer 问题本身的肯定解答: 对角 masa 上的每个纯态都延拓为 上唯一的纯态。如今 已被 Marcus、Spielman 与 Srivastava 无条件证明,这条长达五十四年的链条终于闭合。
作为副产品,同一套交错族机制还给出了 Marcus、Spielman 与 Srivastava 的定理 1.5——针对对角线为零的任意厄米矩阵的一个明确的定量铺垫界,独立解决了自 1980 年代以来被研究的 Bourgain–Tzafriri 猜想的有限维版本,这与框架理论和信号处理中的问题(Casazza 与 Tremain 所记述的 Kadison–Singer 问题的应用)密切相关。
正如本证明先前的步骤已经提醒过的,2013 年的这篇论文是许多数学家历经数十年搭建起来的漫长归约链条的最后一环——Marcus、Spielman 与 Srivastava 真正的贡献,是那套最终攻破了最难一环 本身的交错族技术。