解法：马库斯–斯皮尔曼–斯里瓦斯塔瓦利用交错族给出的证明(2013年)

卡迪森与辛格(1959年)提出了一个问题:$B(\ell^2)$ 的对角极大交换子代数(masa)上的每一个纯态,是否都能唯一延拓为整个 $B(\ell^2)$ 上的纯态。这是算子代数理论中的问题,关乎「受限」测量能确定完整量子力学观测量多少信息,数十年来既未被证明也未被否证。

Nik Weaver(2004年)证明 Kadison–Singer 问题在逻辑上等价于一族有限维命题,其中最强的一个称为 $KS_2$:给定有限维空间 $\mathbb{C}^d$ 中任意一组向量 $v_1,\ldots,v_m$,其和为单位元,$\sum_i v_iv_i^*=I_d$,且每个向量都很短,$\|v_i\|^2\le\delta$,那么总能把下标集划分成两部分 $S_1,S_2$,使部分和 $\sum_{i\in S_j}v_iv_i^*$ 与完整的单位元保持一定距离。Marcus、Spielman 与 Srivastava(2013年,2015年发表于 Annals of Mathematics)正是致力于证明这个 $KS_2$。

这一归约正是使问题变得可处理的关键:无需再讨论无限维算子代数与超滤子这类非构造性对象,整个问题就变成了一个关于划分有限多个矩阵的具体、可验证的命题——这正是本证明其余部分研究的对象。