解法：三维情形:$\mathbb{R}^3$ 中每个挂谷集的维数均为3(王虹–扎尔,2025年)

王虹与扎尔并不粗糙地用 $\delta\times\delta\times\delta$ 立方体铺满 $E$,而是证明(由于卡茨–瓦巴–陶哲轩基于粘性的方法在此不可用,他们改用古斯多项式方法处理颗粒性)粗管 $T_\rho$ 内部的管会组织成本质上互不相交的“颗粒”——尺寸为某个先验未知的中间值 $\delta\times \rho c\times c$ 的扁平矩形棱柱,且取得尽可能大。用这些更贴合的颗粒的重数 $\mu_{\text{coarse}}$ 替换第2步中浪费空间的粗管重数 $\mu_{\text{fat}}$,得到严格更好的重数不等式 $\mu\lesssim\mu_{\text{coarse}}\mu_{\text{fine}}$:若经重新缩放后,颗粒表现得像普通(或更稀疏的)挂谷配置,则 $K(d)$ 已给出 $\mu_{\text{coarse}}\lesssim \rho^{-d}$,再配合对 $\mu_{\text{fine}}$ 的相应估计,便如粘性情形一样直接闭合归纳。