解法：三维情形:$\mathbb{R}^3$ 中每个挂谷集的维数均为3(王虹–扎尔,2025年)

在中间尺度 $\delta\ll\rho\ll 1$ 处,把 $\delta\times\delta\times 1$ 的细管归并为 $\rho\times\rho\times1$ 的粗管。在最有利的(“粘性”)情形中,细管在方向分离允许的范围内尽可能紧密地聚集在粗管内,因此每根粗管确实表现得像原始配置的一个重新缩放的副本。假设 $K(d)$ 成立,先在粗尺度 $\rho$ 应用一次,限制一点上能堆叠多少根粗管($\mu_{\text{fat}}$);再放大到单根粗管内部(按 $1/\rho$ 缩放)后再次应用,限制其内部能堆叠多少根细管($\mu_{\text{fine}}$)。一点只有先落在某根含它的粗管中、再落在该粗管内的某根细管中,才算落入该细管,因此总重数至多是乘积 $\mu_{\text{fat}}\mu_{\text{fine}}$——把两次应用 $K(d)$ 得到的幂律界相乘,恰好重新得到 $K(d)$ 本身,并留有余地得到真正的增益 $K(d+\alpha)$。