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解法：三维情形:$\mathbb{R}^3$ 中每个挂谷集的维数均为3(王虹–扎尔,2025年)

第 3/5 步：非粘性情形:寻找弗罗斯特曼违背
上一步下一步
通俗地说

若加厚后的挂谷集 E=⋃TE=\bigcup T 在每一处、每一尺度上都恰好具有维数 dd,那么以 EE 中任一点 xx 为中心、半径为 ρ\rho 的球 B(x,ρ)B(x,\rho) 中来自 EE 的体积应约为 (ρ/δ)dδ3(\rho/\delta)^d\delta^3——不多不少,这正是在尺度 δ\delta 下加厚的 dd 维集合的自然“弗罗斯特曼”密度。王虹与扎尔的关键想法是证明:在棘手的非粘性情形中,必定存在某个球违反这一密度上界,所含体积明显多于预期。一旦在某个中间尺度 ρ\rho 找到这样的“弗罗斯特曼违背”,一个简短的覆盖论证便能单独把它提升为整个集合 EE 所需的增益 K(d+α)K(d+\alpha)——于是剩余的全部问题就归结为构造出这样一次违背。

∣E∩B(x,ρ)∣≳(ρ/δ)dδ3−α  (a Frostman violation) ⟹ ∣E∣≳ρ−d⋅(ρ/δ)dδ3−α=δ3−d−α|E\cap B(x,\rho)| \gtrsim (\rho/\delta)^{d}\delta^{3-\alpha} \ \ (\text{a Frostman violation}) \ \Longrightarrow\ |E|\gtrsim \rho^{-d}\cdot(\rho/\delta)^d\delta^{3-\alpha} = \delta^{3-d-\alpha}
详细分析

形式上,尺度 ρ\rho 处的弗罗斯特曼违背是指某个球上的局部密度超出 dd 维预测某个因子 δ−α\delta^{-\alpha}(对应目标增益 α\alpha)。一旦找到,一个标准的鸽笼/覆盖论证(已见于卡茨–瓦巴–陶哲轩关于粘性情形的论文,并由王虹–扎尔加以精细化)便能把这样一次局部违背提升为全局陈述 K(d+α)K(d+\alpha):用以 EE 上的点为中心、半径为 ρ\rho 的约 ρ−d\rho^{-d} 个球覆盖 EE,注意到仅违背球贡献的体积份额已超过 K(d)K(d) 所预测的份额,再经一个简短的体积计数论证即可说明总量必超过 δ3−d−α\delta^{3-d-\alpha}。证明剩余部分要做的,就是在管族配置非粘性时始终找到这样一次违背。