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解法：三维情形:$\mathbb{R}^3$ 中每个挂谷集的维数均为3(王虹–扎尔,2025年)

第 5/5 步：闭合归纳:厚棱柱与薄棱柱
上一步下一步
通俗地说

剩下的正是颗粒重新缩放后不呈现挂谷式配置的情形——它们反而在某个尺寸未定的更大凸棱柱 WW 内堆积得过于密集(“超挂谷”)。王虹与扎尔按 WW 是“厚”的(各边长均 ≫δ\gg\delta)还是“薄”的(厚度 ≈δ\approx\delta)分情况讨论。若 WW 厚,一个更精细的按尺度归纳论证表明 K(d)K(d) 可提升为足够强的“X射线”估计,从而直接给出第3步中的弗罗斯特曼违背。若 WW 薄,经典的平面 L2L^2 论证连同颗粒的超挂谷密度迫使 EE 几乎完全填满 WW——但此时 WW 本身在第4步中本可被当作一个更大的颗粒选取,这与颗粒最初选取时的最大性相矛盾。因此每种配置都落入闭合归纳的某一情形,完成了对任意 ε>0\varepsilon>0 均有 K(3−ε)K(3-\varepsilon) 成立的证明,即 R3\mathbb{R}^3 中每个挂谷集的豪斯多夫维数与闵可夫斯基维数恰好都是 33。

W=convex prism containing a ‘super-Kakeya’ bundle of grains;thick (min⁡dim⁡W≫δ) vs. thin (min⁡dim⁡W≈δ)W = \text{convex prism containing a `super-Kakeya' bundle of grains}; \qquad \text{thick } (\min\dim W \gg \delta) \ \text{vs.}\ \text{thin } (\min\dim W \approx \delta)
详细分析

这一情形划分(王虹–扎尔2025年,第6–8节,遵循陶哲轩博客解说的思路)正是127页篇幅大部分所在。对于厚棱柱 WW,作者证明了一个“X射线估计”——K(d)K(d) 的一个变体,不仅控制管族并集的总体积,还控制它与任意仿射平面的交集——其强度足以使 WW 内部的超挂谷颗粒束直接迫使出现第3步中的弗罗斯特曼违背。对于薄棱柱,一个初等的平面 L2L^2 论证(在结构上与 R2\mathbb{R}^2 证明第3步相同的计算,应用于 WW 近乎平面的横截面内部)结合超挂谷计数表明 ∣E∩W∣≳∣W∣1−o(1)|E\cap W|\gtrsim |W|^{1-o(1)},故 EE 几乎填满 WW;由于假设 WW 大于第3步中固定的最大颗粒尺寸,这与该最大性矛盾,从而排除此情形。任何配置都无法逃脱这两种情形,从而完成按尺度归纳,证明了对任意 ε>0\varepsilon>0 均有 K(3−ε)K(3-\varepsilon)。