解法：用彩虹树证明林格尔猜想(2020年)

该猜想要求一个精确的边分解：$n$ 条边的树 $T$ 有 $n+1$ 个顶点，而 $K_{2n+1}$ 有 $n(2n+1)$ 条边，乘积 $n \cdot (2n+1)$ 恰好吻合，因此分解必须使用恰好 $2n+1$ 个 $T$ 的拷贝，$K_{2n+1}$ 的每条边被覆盖一次。Montgomery、Pokrovskiy 与 Sudakov（Geom. Funct. Anal. 2021，定理 1.2）对所有充分大的 $n$ 证明了这一点，对 $T$ 的形状与最大度不加任何限制。

这一结果立于论文引言所综述的一长串部分成果之上：Ringel 猜想此前仅对特殊族已知（古典的路与星；caterpillar、至多 $4$ 片叶子的树，以及 Joos、Kim、Kühn、Osthus 解决的度有界树），而 Ferber–Samotij 与 Adamaszek–Allen–Grosu–Hladký 对最大度 $O(n/\log n)$ 的树证明了覆盖 $K_{2n+1}$ 几乎全部的近似版本。遗留的难点——也是猜想困难之所在——是极端情形的并集：同时稀疏、度序列任意、结构上非均匀的树。

证明并不直接分解 $K_{2n+1}$，而是证明一个更强且表面上无关的命题——$K_{2n+1}$ 按循环距离的每种边染色都含有 $T$ 的彩虹拷贝（下一步）——再对一切充分大的 $n$ 把分解作为推论导出。