解法：梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)

第 2/8 步：GPY筛法:一个迫使素数出现的加权计数

通俗地说

设想在一个很大的范围内,给每个整数 $n$ 赋一个非负的“权重” $w_n$ ,当 $n+h_1,\dots,n+h_k$ 几乎没有小素因子——因而是素数的合理候选——时权重就大。如果一个精心加权的、关于有多少个 $n+h_i$ 是素数的计数,减去目标数 $\rho$ 之后整体为正,那么范围内必定存在某个 $n$ ,使得 $n+h_1,\dots,n+h_k$ 中实际为素数的个数超过 $\rho$ 。

Goldston、Pintz 与 Yıldırım 正是用莫比乌斯函数 $\mu$ 构造了这样的权重,模仿经典的塞尔伯格筛法,并给出了将由此得到的和式估计得足够精确、从而找到正贡献的方法。

S(N,\rho)=\sum_{N\le n<2N}\Big(\sum_{i=1}^{k}\chi_{\mathbb{P}}(n+h_i)-\rho\Big)w_n,\qquad w_n=\Big(\sum_{\substack{d\mid \prod_{i=1}^k(n+h_i)\\ d<R}}\mu(d)\big(\log R/d\big)^k\Big)^2

详细分析

对固定的可容许集合 $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$ 、非负权重 $w_n$ 与目标值 $\rho>0$ ,梅纳德考虑 $S(N,\rho)=\sum_{N\le n<2N}\big(\sum_{i=1}^k \chi_{\mathbb{P}}(n+h_i)-\rho\big)w_n$ ,其中 $\chi_{\mathbb{P}}$ 是素数的指示函数(梅纳德2013年,第2节,式2.1)。若对所有充分大的 $N$ 都有 $S(N,\rho)>0$ ,则存在某个 $n\in[N,2N)$ ,其权重 $w_n>0$ ,且 $n+h_1,\dots,n+h_k$ 中至少有 $\lfloor \rho+1\rfloor$ 个是素数——因为处处 $w_n\ge0$ ,加权和为正的唯一方式就是在某个有权重的点上括号内为正。

GPY 经典的权重选择是塞尔伯格型的平方 $w_n=\big(\sum_{d\mid \prod_i(n+h_i),\,d<R}\mu(d)(\log R/d)^k\big)^2$ ,其中 $\mu$ 是莫比乌斯函数, $R$ 是控制因子和跑多远的参数(梅纳德2013年,第2节,式2.2)。取平方保证了 $w_n\ge0$ ,而系数的具体选取使得只要知道素数在模数约为 $R$ 的等差数列中分布得有多均匀,就能用标准筛法技术计算出 $S(N,\rho)$ 。

用这个一维配方,GPY 能证明间隔无穷多次是 $\log p_n$ 的一个消失比例,但并非真正有界——这里的权重把整个乘积 $\prod_i(n+h_i)$ 的可整除性当作一个整体来处理,结果证明这过于死板。下一步就是梅纳德的修正。

本步骤中的术语

筛权重: 附加在范围内每个整数 $n$ 上的一个非负数 $w_n$ ,其设计使得当 $n+h_1,\dots,n+h_k$ 没有小素因子(从而模拟素性)时, $n$ 对计数和的贡献很大。
莫比乌斯函数( $\mu$ ): 算术函数,满足 $\mu(1)=1$ ;若 $n$ 是 $r$ 个互异素数之积则 $\mu(n)=(-1)^r$ ;若 $n$ 含有重复的素因子则 $\mu(n)=0$ 。它是通过容斥原理把因子和转化为筛法估计的经典工具。