解法：梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)

由于当 $k$ 较大时 $M_k>\log k-2\log\log k-2$(第6步),且 $\theta$ 可以无条件地取到接近 $1/2$,阈值 $r_k=\lceil\theta M_k/2\rceil$ 当 $k\to\infty$ 时像 $\tfrac14\log k$ 一样增长。根据目标 $m$ 适当选取 $k$,梅纳德得出定理1.1:对每个 $m\in\mathbb{N}$,无条件地有 $\liminf_n(p_{n+m}-p_n)\ll m^3 e^{4m}$(梅纳德2013年,定理1.1)——对每个 $m$,都有无穷多次任意多个素数聚集在一个有界窗口中。

梅纳德明确表示,无论是 $600$(定理1.3)还是 $m^3e^{4m}$ 的增长速度(定理1.1)都不被认为是最优的:“通过进一步的数值计算,我们的方法可以得出更好的界”(梅纳德2013年,第1节)。事实正是如此:Polymath8b 项目(2014年)是一次大规模的在线合作,把梅纳德与陶哲轩各自独立发现的同一方法的版本结合起来,并对可容许元组进行了广泛的计算机搜索,将界降到了 $\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 246$,这是今天已知最好的无条件界。

孪生素数猜想本身——即界可以一路降到 $2$——仍然完全是一个未解之谜;梅纳德的方法,即便结合 Elliott–Halberstam 猜想(一个尚未证明的、把 Bombieri–Vinogradov 加强到 $\theta$ 接近 $1$ 的猜想),也只能达到 $\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 12$(梅纳德2013年,定理1.4)。要把剩下的差距缩小到 $2$,需要超越目前所理解的筛法理论的、根本性的全新想法。