解法：梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)

对固定的分布水平 $\theta>0$ 与小的 $\delta>0$,梅纳德定义 $M_k=\sup_{F\in\mathcal{S}_k}\big(\sum_{m=1}^k J_k^{(m)}(F)\big)/I_k(F)$,上确界取遍适当光滑函数 $F$ 组成的类 $\mathcal{S}_k$(梅纳德2013年,第4节,命题4.2)。在第2步的计数和 $S=S_2-\rho S_1$ 中取 $\rho=\theta M_k/2-\epsilon$,利用第4步的渐近式经过简短计算可知,对所有充分大的 $N$ 都有 $S>0$,于是——按第2步的逻辑——存在无穷多个 $n$,使得 $n+h_1,\dots,n+h_k$ 中至少有 $r_k=\lceil \theta M_k/2\rceil$ 个是素数。

这就是梅纳德的命题4.2,是整个方法的关键:长度为 $k$ 的可容许集合 $\mathcal{H}$ 内出现大小为 $r_k$ 的有界素数间隔,只要对该 $k$ 展示出一个使比值 $\big(\sum_m J_k^{(m)}(F)\big)/I_k(F)$ 足够大的光滑函数 $F$,就会自动成立。特别地,$r_k\ge2$(即 $k$ 个位移中有两个以上为素数)已经给出了 $\liminf_n(p_{n+1}-p_n)$ 的一个界,就是实现它的任何可容许 $k$ 元组的直径。

于是整个解析数论问题就转化成了:对合适的 $k$,找到一个足够好的 $F$。下一步正是通过显式的测试函数与数值优化来给出这一点。