解法：梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)

由 Bombieri–Vinogradov 定理,素数对每个 $\theta<1/2$ 都具有分布水平 $\theta$(这是一个不需要张益唐工作任何输入的经典结果)。取 $k=105$,命题4.3 给出 $M_{105}>4$,梅纳德直接验证当 $\theta$ 足够接近 $1/2$ 时有 $\theta M_{105}/2 > 1$,因此 $r_{105}=\lceil \theta M_{105}/2\rceil \ge 2$(梅纳德2013年,第4节,定理1.3的证明)。由命题4.2(第5步),对任何可容许的 $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_{105}\}$,都有无穷多个 $n$ 使得 $n+h_1,\dots,n+h_{105}$ 中至少有 $2$ 个同时为素数。

剩下的只需展示一个直径不超过 $600$ 的可容许 $105$ 元集合;这样的集合可以通过直接的有限搜索找到(为每个小素数选出避开一个模类的 $105$ 个剩余类),梅纳德证实确实存在这样的集合。它的位移值中有两个无穷多次同时为素数,意味着满足 $|h_i-h_j|\le 600$ 的两个素数 $p_{n+h_i}, p_{n+h_j}$ 无穷多次出现在相邻或近乎相邻的素数之中,从而得到 $\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 600$(梅纳德2013年,定理1.3)。

至关重要的是,这个论证没有用到超出经典 Bombieri–Vinogradov 定理的任何估计:它仅用更古老的工具就改进了张益唐最初的 $70{,}000{,}000$,而这完全得益于第3–6步中的多维筛法。