解法：梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)

第 4/8 步：把筛法转化为两个显式的多重积分

通俗地说

一旦权重由 $k$ 个变量的光滑函数 $F$ 构造出来,两个关键的和——总权重 $S_1$ ,以及加权的素数计数 $S_2$ ——经过一番标准但精细的筛法记账后,本质上就变成了 $F$ 在单位立方体上的两个多重积分:一个衡量 $F$ 的平方的“大小”,另一个衡量 $F$ 沿每个单独坐标方向的贡献有多少。

这正是多维构造带来的回报:一个原本属于数论、涉及数因子计数的问题,被转化成了普通的微积分问题,其中 $F$ 可以自由选取和优化。

I_k(F)=\int_0^1\!\cdots\!\int_0^1 F(t_1,\dots,t_k)^2\,dt_1\cdots dt_k,\qquad J_k^{(m)}(F)=\int_0^1\!\cdots\!\int_0^1\Big(\int_0^1 F\,dt_m\Big)^2 dt_1\cdots dt_{m-1}\,dt_{m+1}\cdots dt_k

详细分析

记 $S_1=\sum_n w_n$ 与 $S_2=\sum_n \big(\sum_i \chi_{\mathbb{P}}(n+h_i)\big)w_n$ (把 $n$ 限制在模一个小模数 $W$ 的固定剩余类中,这是消除小素数障碍的常规手法;梅纳德2013年,第4节,式4.2–4.3)。梅纳德的命题4.1 对由支撑在 $\{(t_1,\dots,t_k): \textstyle\sum t_i\le 1\}$ 上的光滑函数 $F$ 构造出的 $\lambda_{d_1,\dots,d_k}$ ,用两个积分 $I_k(F)=\int_0^1\cdots\int_0^1 F(t_1,\dots,t_k)^2\,dt_1\cdots dt_k$ 与 $J_k^{(m)}(F)=\int_0^1\cdots\int_0^1\big(\int_0^1 F\,dt_m\big)^2 dt_1\cdots dt_{m-1}dt_{m+1}\cdots dt_k$ 渐近地估计出这两个和(梅纳德2013年,第4节,命题4.1)。

具体来说, $S_1\sim c_1 N(\log R)^k I_k(F)$ 且 $S_2\sim c_2 N(\log R)^{k+1}\sum_{m=1}^k J_k^{(m)}(F)/\log N$ ,其中 $c_1,c_2>0$ 是只依赖于 $\mathcal{H}$ 与 $W$ 的显式常数,只要素数具有“分布水平” $\theta>0$ ——一个关于素数在模数约为 $N^\theta$ 的等差数列中分布得有多均匀的定量陈述——并取 $R=N^{\theta/2-\delta}$ ( $\delta>0$ 很小)即可成立。

这把整个筛法问题化归为纯粹的分析:所有关于 $\mathcal{H}$ 、 $N$ 、 $R$ 的信息都已打包进这些常数中,唯一剩下的自由就是函数 $F$ 的选取,下一步将对其进行优化。

本步骤中的术语

分布水平: 一个数 $\theta>0$ ,使得已知直到 $N$ 的素数在模数达到 $N^\theta$ 的等差数列中平均分布得很均匀,误差小于 $\log N$ 的任意幂。经典的 Bombieri–Vinogradov 定理给出可以任意接近 $1/2$ 的 $\theta$ 。