解法：梅纳德的多维筛法:素数之间的有界间隔(2013年)

梅纳德的新权重是 $w_n=\big(\sum_{d_i\mid n+h_i\,\forall i}\lambda_{d_1,\dots,d_k}\big)^2$,对每个 $i$ 满足 $d_i\mid n+h_i$ 的所有因子 $k$ 元组 $(d_1,\dots,d_k)$ 求和(梅纳德2013年,第2节,式2.4)。与 GPY 单变量系数 $\lambda_d$ 不同,新系数 $\lambda_{d_1,\dots,d_k}$ 是一个真正的 $k$ 维数组——因此称为“多维筛法”。

梅纳德指出这个想法并非全无先例(塞尔伯格曾就孪生素数提出过类似想法,Goldston–Yıldırım 也尝试过一个受限版本),但先前的尝试将每个 $d_i$ 限制在不超过 $R^{1/k}$,这个限制严格到抹去了所有好处。梅纳德的选择则让系数大致分解为 $\lambda_{d_1,\dots,d_k}\approx\big(\prod_i \mu(d_i)\big) f(d_1,\dots,d_k)$,其中 $f$ 是 $k$ 个实变量的光滑函数,每个 $d_i$ 都可以单独跑到 $R$ 那么大(梅纳德2013年,第2节,式2.5)。

正是这种多维自由度消除了此前的障碍:由这些权重构造出的计数和现在可以(如下面命题4.1)用 $k$ 个变量的任意光滑函数 $F$ 来表示,从而把筛法设计变成接下来几步要利用的变分问题。