大问题

18世纪

1. 1742
   哥德巴赫猜想算术与数论. 1742年,哥德巴赫在给欧拉的信中提出:大于2的每个整数都是三个素数之和(当时1仍被视为素数);欧拉将其改述为如今更强的标准形式:大于2的每个偶数都是两个素数之和。尽管已用计算机验证了直到 $4\times10^{18}$ 的所有偶数,并有许多有力的部分结果,一般性的命题至今仍未被证明。另一个较弱的命题——弱(三素数)哥德巴赫猜想,即大于5的每个奇数都是三个素数之和——已由赫尔夫戈特于2013年完全证明。兰道 #1未解决

19世纪

1. 1808
   勒让德猜想算术与数论. 追问任意两个相邻平方数 $n^2$ 与 $(n+1)^2$ 之间——在 $x = n^2$ 处长度为 $2n + 1 \approx 2x^{1/2}$ 的区间——是否总存在素数。1912年被埃德蒙·朗道列为四个「无从下手」的素数问题之一,即便假设黎曼猜想成立也仍未解决。兰道 #3未解决
2. 1849
   孪生素数猜想算术与数论. $(3,5)$、$(11,13)$、$(17,19)$ 这样的数对称为孪生素数。阿方斯·德·波利尼亚克于1849年以一般形式提出了这一猜想,它是“每个偶数 $n$ 都是无穷多对相邻素数之间的间隔”这一论断在 $n=2$ 时的特例。这个问题一度被认为毫无希望,直到2013年张益唐证明了某个固定上界以下的间隔会无穷次出现——这是朝着该猜想迈出的第一个惊人步骤。此后筛法理论的改进已将上界从 70,000,000 降到 246,但迄今为止没有任何方法能将间隔一直压缩到 2。兰道 #2未解决

20世纪

1. 1912
   n² + 1 型素数(朗道第四问题)算术与数论. 狄利克雷定理保证任意互素的一次算术级数 $an + b$ 中有无穷多个素数,但迄今没有任何一个二次或更高次的单变量多项式被证明能取到无穷多个素数值。1912年埃德蒙·朗道将 $n^2 + 1$ 的情形列为其四个素数问题中的第四个,至今仍未解决;最接近的无条件结果是伊瓦涅茨1978年的定理,即 $n^2 + 1$ 有无穷多次至多是两个素数的乘积。兰道 #4未解决