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千禧年
希尔伯特
兰道
斯梅尔
埃尔德什
近代早期
1611
开普勒猜想
几何学.
在空间中堆放等大球体的最密方式,正是人们熟悉的炮弹堆法,其密度为
π
/
18
\pi/\sqrt{18}
π
/
18
。
希尔伯特 #18
托马
托马斯·黑尔斯, 1998
19世纪
1859
黎曼猜想
算术与数论, 分析学.
zeta 函数编码了素数的分布:它的零点控制着素数计数函数
π
(
x
)
\pi(x)
π
(
x
)
中的误差项。1859年,黎曼注意到他所能算出的所有非平凡零点都落在临界线
R
e
(
s
)
=
1
2
\mathrm{Re}(s)=\tfrac12
Re
(
s
)
=
2
1
上,并猜想这总是成立。若能证明,将给出素数定理最强的形式;已有数十亿个零点经数值验证均落在该直线上,但至今没有证明或反例。它是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。
千禧年
希尔伯特 #8
未解决
1878
连续统假设
数学基础.
康托尔证明了实数集不可数,因此其基数
2
ℵ
0
2^{\aleph_0}
2
ℵ
0
严格大于整数集的基数
ℵ
0
\aleph_0
ℵ
0
。连续统假设(CH)问的是
2
ℵ
0
2^{\aleph_0}
2
ℵ
0
是否恰好是下一个基数
ℵ
1
\aleph_1
ℵ
1
。哥德尔(1940年)证明了在标准的 ZFC 公理系统中无法证伪 CH,而科恩(1963年)则用他新发明的力迫法(forcing)证明了 CH 也无法被证明。因此 CH 独立于 ZFC:CH 及其否定都与通常的集合论公理相容,所以这个问题在 ZFC 之内没有答案。
希尔伯特 #1
库尔
库尔特·哥德尔, 1963
20世纪
1900
希尔伯特第七问题
算术与数论.
1934年由亚历山大·格尔丰德与特奥多尔·施奈德各自独立证明:只要
α
≠
0
,
1
\alpha \ne 0, 1
α
=
0
,
1
是代数数且
β
\beta
β
是代数无理数,
α
β
\alpha^\beta
α
β
就是超越数——一举解决了希尔伯特提出的两个典型例子
2
2
2^{\sqrt{2}}
2
2
与
e
π
=
(
−
1
)
−
i
e^\pi = (-1)^{-i}
e
π
=
(
−
1
)
−
i
。
希尔伯特 #7
已解决
1900
希尔伯特第十六问题
微分方程与动力系统, 几何学.
追问
n
n
n
次实代数曲线卵形线可能的排列方式,以及平面上
n
n
n
次多项式向量场极限环个数的一致上界
H
(
n
)
H(n)
H
(
n
)
。每个单独的多项式系统只有有限多个极限环(伊利亚申科1991年;埃卡尔1992年),但
H
(
n
)
<
∞
H(n) < \infty
H
(
n
)
<
∞
是否成立即便在
n
=
2
n = 2
n
=
2
时仍未解决。
希尔伯特 #16
斯梅尔 #13
未解决
1900
希尔伯特第六问题
数学物理.
希尔伯特既要求为概率论与力学建立公理化基础,又要求从微观粒子碰撞严格推导出宏观流体方程。柯尔莫哥洛夫于1933年完成了概率论公理化,邓煜、哈尼与马骁于2025年从硬球动力学推导出长时间玻尔兹曼方程及流体方程,而将整个现代物理学公理化的宏大目标仍未完成。
希尔伯特 #6
部分解决
1900
希尔伯特第十问题
数学基础, 算术与数论.
一般而言,不存在算法能判定丢番图方程是否有整数解——希尔伯特第十问题的答案是否定的。
希尔伯特 #10
尤里
尤里·马季亚谢维奇, 1970
1900
希尔伯特第三问题
几何学.
任意两个面积相等的多边形都可以切割成有限块并重新拼成彼此,但马克斯·德恩于1900年证明三维情形并不成立:体积相等的立方体与正四面体在
R
⊗
Q
(
R
/
π
Q
)
\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})
R
⊗
Q
(
R
/
π
Q
)
中具有不同的德恩不变量,永远无法相互剪拼转化。
希尔伯特 #3
已解决
1900
希尔伯特第十二问题
算术与数论.
要求寻找数域
K
K
K
的所有阿贝尔扩张的显式解析生成元,推广单位根
exp
(
2
π
i
/
n
)
\exp(2\pi i/n)
exp
(
2
π
i
/
n
)
生成
Q
a
b
\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}
Q
ab
的性质。虚二次域情形已由复乘法理论解决,全实域情形在
p
p
p
进意义下已由达斯古普塔与卡克德(2021–2023年)解决,而一般的复解析问题仍然悬而未决。
希尔伯特 #12
未解决
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