大问题

近代早期

1. 1611
   开普勒猜想几何学. 在空间中堆放等大球体的最密方式，正是人们熟悉的炮弹堆法，其密度为 $\pi/\sqrt{18}$。希尔伯特 #18托马托马斯·黑尔斯, 1998

19世纪

1. 1859
   黎曼猜想算术与数论, 分析学. zeta 函数编码了素数的分布:它的零点控制着素数计数函数 $\pi(x)$ 中的误差项。1859年,黎曼注意到他所能算出的所有非平凡零点都落在临界线 $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$ 上,并猜想这总是成立。若能证明,将给出素数定理最强的形式;已有数十亿个零点经数值验证均落在该直线上,但至今没有证明或反例。它是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。千禧年希尔伯特 #8未解决
2. 1878
   连续统假设数学基础. 康托尔证明了实数集不可数,因此其基数 $2^{\aleph_0}$ 严格大于整数集的基数 $\aleph_0$。连续统假设(CH)问的是 $2^{\aleph_0}$ 是否恰好是下一个基数 $\aleph_1$。哥德尔(1940年)证明了在标准的 ZFC 公理系统中无法证伪 CH,而科恩(1963年)则用他新发明的力迫法(forcing)证明了 CH 也无法被证明。因此 CH 独立于 ZFC:CH 及其否定都与通常的集合论公理相容,所以这个问题在 ZFC 之内没有答案。希尔伯特 #1库尔库尔特·哥德尔, 1963

20世纪

1. 1900
   希尔伯特第七问题算术与数论. 1934年由亚历山大·格尔丰德与特奥多尔·施奈德各自独立证明:只要 $\alpha \ne 0, 1$ 是代数数且 $\beta$ 是代数无理数,$\alpha^\beta$ 就是超越数——一举解决了希尔伯特提出的两个典型例子 $2^{\sqrt{2}}$ 与 $e^\pi = (-1)^{-i}$。希尔伯特 #7已解决
2. 1900
   希尔伯特第十六问题微分方程与动力系统, 几何学. 追问 $n$ 次实代数曲线卵形线可能的排列方式,以及平面上 $n$ 次多项式向量场极限环个数的一致上界 $H(n)$。每个单独的多项式系统只有有限多个极限环(伊利亚申科1991年;埃卡尔1992年),但 $H(n) < \infty$ 是否成立即便在 $n = 2$ 时仍未解决。希尔伯特 #16斯梅尔 #13未解决
3. 1900
   希尔伯特第六问题数学物理. 希尔伯特既要求为概率论与力学建立公理化基础,又要求从微观粒子碰撞严格推导出宏观流体方程。柯尔莫哥洛夫于1933年完成了概率论公理化,邓煜、哈尼与马骁于2025年从硬球动力学推导出长时间玻尔兹曼方程及流体方程,而将整个现代物理学公理化的宏大目标仍未完成。希尔伯特 #6部分解决
4. 1900
   希尔伯特第十问题数学基础, 算术与数论. 一般而言，不存在算法能判定丢番图方程是否有整数解——希尔伯特第十问题的答案是否定的。希尔伯特 #10尤里尤里·马季亚谢维奇, 1970
5. 1900
   希尔伯特第三问题几何学. 任意两个面积相等的多边形都可以切割成有限块并重新拼成彼此,但马克斯·德恩于1900年证明三维情形并不成立:体积相等的立方体与正四面体在 $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ 中具有不同的德恩不变量,永远无法相互剪拼转化。希尔伯特 #3已解决
6. 1900
   希尔伯特第十二问题算术与数论. 要求寻找数域 $K$ 的所有阿贝尔扩张的显式解析生成元,推广单位根 $\exp(2\pi i/n)$ 生成 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$ 的性质。虚二次域情形已由复乘法理论解决,全实域情形在 $p$ 进意义下已由达斯古普塔与卡克德(2021–2023年)解决,而一般的复解析问题仍然悬而未决。希尔伯特 #12未解决