大问题

20世纪

1. 1900
   希尔伯特第十六问题微分方程与动力系统, 几何学. 追问 $n$ 次实代数曲线卵形线可能的排列方式,以及平面上 $n$ 次多项式向量场极限环个数的一致上界 $H(n)$。每个单独的多项式系统只有有限多个极限环(伊利亚申科1991年;埃卡尔1992年),但 $H(n) < \infty$ 是否成立即便在 $n = 2$ 时仍未解决。希尔伯特 #16斯梅尔 #13未解决
2. 1939
   雅可比猜想代数学, 分析学. 追问特征为零时具有非零常数雅可比行列式的多项式映射 $k^n \to k^n$ 是否必有多项式逆映射；$n \ge 3$ 的情形已于2026年被证伪，而平面情形 $n = 2$ 仍未解决。斯梅尔 #16部分解决
3. 1963
   洛伦兹吸引子的存在性微分方程与动力系统. 证明经典洛伦兹微分方程组确实拥有稳健的混沌奇异吸引子，由沃里克·塔克通过严格的计算机辅助证明解决了斯梅尔第14问题。斯梅尔 #14已解决

当代

1. 2000
   纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性微分方程与动力系统. 追问三维不可压缩纳维-斯托克斯方程是否总能从光滑初始数据得到全局定义的光滑解,还是可能在有限时间内爆破——克雷千禧年大奖七大难题之一。千禧年斯梅尔 #15未解决