大问题

19世纪

1. 1859
   黎曼猜想算术与数论, 分析学. zeta 函数编码了素数的分布:它的零点控制着素数计数函数 $\pi(x)$ 中的误差项。1859年,黎曼注意到他所能算出的所有非平凡零点都落在临界线 $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$ 上,并猜想这总是成立。若能证明,将给出素数定理最强的形式;已有数十亿个零点经数值验证均落在该直线上,但至今没有证明或反例。它是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。千禧年希尔伯特 #8未解决

20世纪

1. 1904
   庞加莱猜想拓扑学, 几何学. 每个单连通闭 $3$ 维流形都同胚于 $3$ 维球面 $S^3$——由亨利·庞加莱于1904年提出，格里戈里·佩雷尔曼于2002至2003年间利用带手术的里奇流予以证明，是克雷千禧年大奖难题中唯一已获解决的问题。千禧年格里格里戈里·佩雷尔曼, 2003
2. 1950
   霍奇猜想几何学, 代数学. 霍奇类是簇的复结构所标记为「具有几何形状」的上同调类;猜想问的是,是否每一个这样的类实际上都来自一个真正的代数子簇。自1924年(莱夫谢茨)起已知在余维数1的情形成立,对直到5维的阿贝尔簇也成立,它是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一,一般情形仍未解决。千禧年未解决
3. 1965
   贝赫和斯维讷通-戴尔猜想算术与数论. 预测椭圆曲线有理点的秩等于其L函数在s=1处的零点阶数——目前仅在该阶数为0或1时得到证明。千禧年未解决
4. 1971
   P与NP问题应用与计算数学, 数学基础. 追问每个能被快速验证解的问题,是否也能被快速求解——这是计算复杂性理论的核心开放问题,悬赏克雷千禧年大奖。千禧年未解决

当代

1. 2000
   纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性微分方程与动力系统. 追问三维不可压缩纳维-斯托克斯方程是否总能从光滑初始数据得到全局定义的光滑解,还是可能在有限时间内爆破——克雷千禧年大奖七大难题之一。千禧年斯梅尔 #15未解决
2. 2000
   杨-米尔斯存在性与质量间隙数学物理, 分析学. 经典杨-米尔斯场像光子一样没有质量,然而在量子世界中,它们所描述的强核力却是短程力,并将胶子和夸克束缚成有质量的粒子。严格从数学上构造四维量子杨-米尔斯理论并证明其质量间隙 $\Delta > 0$,是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。千禧年未解决