柯西用投影—三角剖分证明 V − E + F = 2(1811年)

常见问题

同样的论证对形状像圆环(带一个洞的环)的多面体也成立吗?

不成立——第一步的铺平操作需要表面在拓扑上是球面。对于有 $g$ 个洞(亏格为 $g$ )的表面,同样类型的论证给出一般的欧拉示性数 $V - E + F = 2 - 2g$ ,只有当 $g = 0$ 时才等于 $2$ 。

柯西的证明是否要求多面体必须是凸的,还是更弱的条件就够了?

更弱的条件就够了:证明只需要表面在拓扑上是球面(星形以及许多凹陷的非凸立体都符合),因为这正是第1步用来无交叉地铺平表面所依赖的性质。真正的凸性只是柯西历史上采用的一个方便的充分条件,而不是本质所在。

来源

Augustin-Louis Cauchy, 1811

Proofs from THE BOOK (6th ed.)

第 6/6 步：超越球面:为何非凸或环状立体会失效

上一步下一步

通俗地说

对拓扑学家来说,咖啡杯和甜甜圈是出了名的“同一种形状”,因为两者都恰好只有一个洞贯穿其中。一个像画框那样中间被挖出一个矩形隧道的立体,其实就是乔装打扮过的甜甜圈。第1步的整个铺平技巧本就需要表面完全没有洞,所以画框形状的立体会在第一步就破坏证明,而不是在后面某个细节上才出问题。

\chi = V - E + F = 2 - 2g, \qquad \text{e.g. } g=1 \text{ (a hole through the solid)} \implies V - E + F = 0

详细分析

第1到第5步建立的论证完全依赖于第一步就用到的一个假设:多面体的表面被开口之后,能够不产生边交叉地铺平到平面上,而这只有在表面最初就是拓扑球面时才可能。凸多面体总是具有这个性质,但许多非凸多面体(比如一个凹陷的立方体)同样具有——论证中的任何地方都没有真正用到凸性本身,用到的只是类似球面的拓扑性质。

本步骤中的术语

亏格: 用来数曲面上有多少个洞或柄的整数 $g$ :球面 $g=0$ ,环面(甜甜圈) $g=1$ ,依此类推。
欧拉示性数: 由任意多面体(或三角剖分)曲面计算出的量 $\chi=V-E+F$ ;第1至5步表明它只依赖于曲面的拓扑,而不依赖具体形状。