解法: Beukers–Calabi–Kolk による二重積分を用いた証明(1993年)

よくある質問

この変数変換はなぜうまくいくのか。

Eugenio Calabi は、この形の被積分関数に対してヤコビアンがうまく釣り合うような変数変換を探すことでこれを見つけた。あらかじめそれを予想できる単純な理由はなく、そのためこの証明はしばしば「奇跡的」と呼ばれる。

この方法は ζ(2) 以外にも一般化できるのか。

できる。Beukers、Calabi、Kolk は同じ変換の高次元版を用いて、ζ(4)、ζ(6) や他の一般化調和級数を多面体の体積として評価した。

この証明は完全に厳密であるとみなされるか。

そうである——1735年のオイラーの議論とは異なり、ここでの各段階(幾何級数、正の項の項別積分、明示的なヤコビアンを伴う変数変換)はいずれも標準的で厳密な多変数微積分である。

出典

Frits Beukers, Eugenio Calabi, Johan A. C. Kolk, 1993

ステップ 6/6: ζ(2) に戻る

ざっくり言うと

三角形の面積は微積分と幾何学だけで計算され、無限乗積の影はどこにもない。その数値を手順1の等式に戻すと $\zeta(2)$ が得られ、和から積分へ、積分から三角形へ、そして三角形からまた和へという輪が閉じる。

\zeta(2)=\frac43\cdot\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi^2}{6}

詳しい解説

三角形の面積を手順1の等式に代入すると $\pi^2/6$ が得られる——これは1735年にオイラーが見出したのと同じ数だが、ここでは無限乗積も $\sin x$ のマクローリン級数も使わず、多変数微積分だけで到達している。

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