解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)
同一形状のカイト——子どもが揚げる紙凧に似た四角形——から作られる標準的な平面タイル張りを考え、各頂点の周りに 枚ずつ繰り返しパターンで配置する。今、これらのカイトのうちちょうど8枚を特定のパターンで貼り合わせ、一つの 辺の輪郭にする。この一つに貼り合わされた図形が「ハット」である。
驚くべきことに、この控えめに見える一つの形だけで無限の平面全体を隙間も重なりもなくタイル張りできる。しかし、そのコピーをどう配置しても、滑らせて繰り返す形には決してならない——並進対称性を持つことは決してない。
2023年3月、デイヴィッド・スミス(アマチュアのタイル張り愛好家)は、ラーベスの タイル張り(アルキメデスの タイル張りの双対)に由来する8枚のカイトタイルから成る辺のポリカイト「ハット」を発見した。ジョゼフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・カプラン、カイム・グッドマン=ストラウスとともに、彼はこれが平面をタイル張りできるが非周期的にのみであると予想した。
スミスの当初の計算機実験(カプランのヒーシュ数ソフトウェアとマイヤーズのポリフォームタイル張りソフトウェアを使用)は、証明が存在する前からすでに驚くべきことを示していた:もしハットが平面をタイル張りできなければ、そのヒーシュ数は少なくとも ——それまでの記録 をはるかに超える——でなければならず、もし周期的にしかタイル張りできないならば、その等辺数は少なくとも でなければならない。どちらの結果だけでも大きな発見であり、これがチームにこの形が完全な証明に値すると確信させた。
この証明の残りの部分では、この問いに決着をつける二つの独立した議論(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年の第3節および第4〜5節)をたどる:ハットは平面のタイル張りを許し、そのいずれも周期的にはなり得ない。
- ポリカイト
- 固定されたカイトタイル張りから、カイト(隣接する二組の辺の長さがそれぞれ等しい四角形)の複数のコピーを辺どうしで貼り合わせて作られる形。
- ヒーシュ数と等辺数(isohedral number)
- ある形のヒーシュ数とは、隙間なくそれを取り囲める同心の輪の最大の完全な数のこと(平面をタイル張りできるなら無限大)。あるタイル張りの等辺数とは、そのタイル張りの対称性のもとでタイルが分かれる軌道クラスの最小の個数のこと。