解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)
第一の証明は周期性が不可能であることを示したが、タイル張りがそもそも存在することは示していない。存在性を解決し——さらに非周期性への第二の独立した手がかりを得るために——著者らは実際に存在する任意のタイル張りを見て、その中のすべてのハットが、周囲の小さな近傍のタイルの配置のみに基づいて、、、、 と名付けられたわずか4種類の大きなクラスターのいずれかに、曖昧さなく分類できることを示す。
これら4つのクラスター形状は、その内部のハットから受け継いだ独自の辺の対応規則を持つ、新しくより粗い構成要素の集合として振る舞う——個々のハットの細かい質感は抽象化されて取り除かれ、分析すべきより単純な構造が残る。
Smith, Myers, Kaplan と Goodman-Strauss(2023年、第4節)は8つの順序付き分類規則を与える:あるハットから外側へ走査し、必要な隣接パターンが存在する最初の規則が、そのハットに8つのラベル(–、、、、あるいは包括的な )のいずれかを割り当てる。これらのラベルによってハットをグループ化し、さらに(起こりうるすべての小さな局所近傍パターンを網羅的に確認することで検証される)クラスター内・クラスター間の対応確認を行うと、これらのラベルがハットによるあらゆるタイル張りを、メタタイルと呼ばれる4種類のクラスターに分割することが分かる:(枚のハットから構成)、(枚)、(枚)、(枚)であり、それぞれが構成するハットの幾何学から受け継いだ対応規則(方向符号付きで とラベル付けされた辺)を持つ。
重要なのは、この分類が強制されるということである:対応規則が守られている限り、可能などのハットのタイル張りにおいても、すべてのハットはちょうど一つのメタタイルに、曖昧さも取りこぼしもなく分類される。これにより、ハットのタイル張りの無限で一見でたらめな多様性が、わずか4種類のメタタイル形状がどう組み合わさり得るかという扱いやすい問いに変換される——これはまさに四色定理に対して放電法が成し遂げるのと同じ種類の(無限から有限への)還元であるが、その背後にある組合せ論は異なる。
次のステップでは、これら4つのメタタイルが独自の代入規則を満たすことが示され、これによって最終的にタイル張りが存在することが確立され、Berger流の独立した議論によって階層的非周期性に決着がつく。