解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)
同一形状のカイト——子どもが揚げる紙凧に似た四角形——から作られる標準的な平面タイル張りを考え、各頂点の周りに 枚ずつ繰り返しパターンで配置する。今、これらのカイトのうちちょうど8枚を特定のパターンで貼り合わせ、一つの 辺の輪郭にする。この一つに貼り合わされた図形が「ハット」である。
驚くべきことに、この控えめに見える一つの形だけで無限の平面全体を隙間も重なりもなくタイル張りできる。しかし、そのコピーをどう配置しても、滑らせて繰り返す形には決してならない——並進対称性を持つことは決してない。
hat は polykite である：その境界は Laves タイルの凧形タイル（各頂点が三角形1枚・正方形2枚・六角形1枚に囲まれるアルキメデス的 タイルの双対）の辺の和集合である。これらの凧8枚が 辺の -格子に沿った形 を組み立てる。その辺の方向はすべて三角格子の 方向に収まるので、このタイルの敷き詰めは計量的ではなく組合せ的に解析できる。
発見は厳密さより先に経験的だった：David Smith は Myers の polyform 敷き詰めソフトと Kaplan の Heesch 数プログラムで大きなパッチを生成した。平面を敷き詰められないタイルは有限の Heesch 数（支えられる同心コロナの層数）を持つが、hat のパッチは既に当時の記録 層を超えており、周期的敷き詰めを強制するには isohedral 数が少なくとも 必要だった——どちらの観察も単独で異常なタイルを示唆した。
hat について証明されるすべては、使用する敷き詰め規約に対して相対的である：タイルは回転・平行移動・鏡映してよい。以下の証明は、周期的敷き詰めが存在しないという幾何学的議論（ステップ3）と、敷き詰めが存在し一意な非反復構造に強制されるという階層的置換の議論（ステップ4–6）に分かれ、両半分は論理的に独立である。
- ポリカイト
- 固定されたカイトタイル張りから、カイト(隣接する二組の辺の長さがそれぞれ等しい四角形)の複数のコピーを辺どうしで貼り合わせて作られる形。
- ヒーシュ数と等辺数(isohedral number)
- ある形のヒーシュ数とは、隙間なくそれを取り囲める同心の輪の最大の完全な数のこと(平面をタイル張りできるなら無限大)。あるタイル張りの等辺数とは、そのタイル張りの対称性のもとでタイルが分かれる軌道クラスの最小の個数のこと。