解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)

反証のため、ハットによる強い意味で周期的なタイル張り $\mathcal{T}$ が存在すると仮定する。長さ $1$ のすべての辺を長さ $0$ に縮約すると、$\mathcal{T}$ はシェブロン($\mathrm{Tile}(0,\sqrt{3})$、面積 $3\sqrt{3}$)による強い意味で周期的なタイル張り $\mathcal{T}_4$ になる。代わりに長さ $\sqrt{3}$ のすべての辺を $0$ に縮約すると、コメット($\mathrm{Tile}(1,0)$、面積 $2\sqrt{3}$)による強い意味で周期的なタイル張り $\mathcal{T}_8$ が得られる(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年, 第3節)。$\mathcal{T}_4$ と $\mathcal{T}_8$ はどちらも同じタイル張り $\mathcal{T}$ から組合せ的に導かれるため、$\mathcal{T}_4$ のあらゆる並進対称性を $\mathcal{T}_8$ の対応する並進対称性へ写すアフィン写像 $g$ が存在し、面積を固定比 $\tfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \tfrac{2}{3}$ でスケールする。

議論の技術的な核心は、シェブロンのタイル張りをさらに細分して得られる菱形の無限鎖「ワーム」に $g$ がどう作用するかを追跡し、組合せ論的に $g$ があらゆる方向に一様にスケールせざるを得ないことを示すことで、$g$ が実は相似写像(形を保つ縮尺変換)でなければならないことを証明する点にある。しかし面積を $\tfrac{2}{3}$ でスケールする相似写像は長さを $\sqrt{2/3}$ でスケールしなければならず、その特定の縮尺率を持つどんな相似写像も、三角格子のある並進対称性の集合を別の集合へ写すことはできない。なぜなら $\sqrt{2/3}$ は格子自身の幾何学と両立しない形で無理数だからである(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2023年, 第3節、平面上の格子に関する補題による)。

この矛盾は、ハットによる強い意味で周期的なタイル張り $\mathcal{T}$ が存在し得ないことを示しており、弱い意味で周期的なタイル張りを持つ平面タイルは常に強い意味で周期的なタイル張りも持つため、ハットはどちらの意味でも周期的なタイル張りを持たない。注目すべきは、証明のこの半分はまったく計算機を必要としないことである——これは古典的な幾何学的議論である。これが示さないのは、そもそもハットが平面をタイル張りするかどうかである。この存在の問いには、続くステップで独立に答えが与えられる。